Schemi Statistica I

Statistica I descrittiva

Somma e media

Somma: S(x) = _{i = 1}ⁿ ∑ x_i = x₁ + x₂ + ... + x_n

Media aritmetica: M(x) = 1/n _{i = 1}ⁿ ∑ x_i = 1/n (x₁ + x₂ + ... + x_n)

Proprietà

Si può portare fuori la costante:

S(a·X) = a S(X)

M(a·X) = a M(X)

Somma di una costante:

S(b) = n·b

M(b) = b

Scomposizione di una somma (differenza) di termini:

S(X + Y) = S(X) + S(Y)

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Somma di una trasformazione lineare:

S(a·X + b) = a S(X) + n·b

M(a·X + b) = a M(X) + b

Prodotto di sommatorie

(_{i = 1}ⁿ ∑ X_i) ⋅ (_{j = 1}^m ∑ Y_j) = _{i = 1}ⁿ _{j = 1}^m ∑ X_i Y_j = (_{i = 1}^m ∑ Y_j) (_{i = 1}ⁿ ∑ X_i)

Varianza

Varianza: media (aritmetica) degli scarti quadratici:

σ²(X) = M([X - M(X)]²)

Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice della varianza

σ(X) = √(σ²(X) = √(M([X - M(X)]²))

Devianza: somma degli scarti quadratici:

nσ²(X) = S([X - M(X)]²) = _{i = 1}ⁿ ∑ (X_i - M(X))²

Proprietà

σ²(a·X + b) = a² σ²(X)

σ(a·X + b) = |a| σ(X)

Statistica I descrittiva

Somma: \(S(x) : \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_n\)

Media aritmetica: \(M(x) : \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n} (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)\)

Proprietà

Si può portare fuori la costante

\(S(a \cdot X) = a \cdot S(X)\)

\(M(a \cdot X) = a \cdot M(X)\)

Somma di una costante

\(S(b) = n \cdot b\)

\(M(b) = b\)

Scomposizione di una somma (differenza) di termini

\(S(x+y) = S(x) + S(y)\)

\(M(x+y) = M(x) + M(y)\)

Somma di una trasformazione lineare

\(S(a \cdot X + b) = a \cdot S(X) + n \cdot b\)

\(M(a \cdot X + b) = a \cdot M(X) + b\)

Prodotto di sommatorie

\(\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \left( \sum_{j=1}^{m} Y_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} X_i \cdot Y_j\)

Varianza

Varianza: media (aritmetica) degli scarti quadratici:

\(\sigma^2(x) = M([X - M(X)]^2)\)

Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice della varianza

\(\sigma(x) = \sqrt{\sigma^2(x)} = \sqrt{M([X - M(X)]^2)}\)

Devianza: somma degli scarti quadratici

\(n \sigma^2(x) = S([X_i - M(X)]^2) = \sum_{i=1}^{n} (X_i - M(X))^2\)

Proprietà

\(\sigma^2 (a \cdot X + b) = a^2 \cdot \sigma^2(X)\)

\(\sigma (a \cdot X + b) = |a| \sigma (X)\)

La varianza propria è vista come differenza di medie

C σ²(X) = Π(X²) - Π²(X)

Una

Se X è discreto

1/n _i=1 X_i; - successione H(X) = | Σ f_i; X_i - distribuzioni freq. assolute Σ f_i X_i; - distribuzione freq. relative

Se X è continua

(classi intervalli) S sostituisce X_i con il valore centrale di classe, C; X_i; +X_i; +1/2

Covarianza e coefficiente di correlazione lineare

Covarianza: media (centrata) dei prodotti degli scarti Cov(X,Y) = H | (X - H(X))(Y - H(Y))| 1/n Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y)) | successioni doppie| 1/Π Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y)) n_i; | dist. doppie freq. assolute| Σ (X_i - H(X))(Y_i - H(Y)) p_i q_i; | dist. doppie freq. relative

Codevanza: somma del prodotto degli scarti Co(X, Y) = Σ ((X - H(X))(Y - H(Y)) Cod (X, Y) = n Cov(X,Y)

Proprietà

U = X + b V = c Y +d | Cov (U, V) = a.c. Cov (X, Y) | Cov (aX + b, Y) = a.c. Cov(X,Y)

La covarianza propria è vista come differenze di medie

Cov(X, Y) = M((X - H(X))(Y - H(Y))

Una

Se X e Y discreti

1/n Σ X_{i Yi;} - successioni doppie

H (X) = | Σ X_i p_i - per le dist. doppie freq. ass.Σ X_i p_i - per le dist. doppie freq. rela