Schemi Statistica

Capitolo 1

La statistica può essere definita come l’insieme delle operazioni, volte a raccogliere delle informazioni riguardanti fenomeni reali, per sintetizzarle al fine di produrre dei risultati utili ad accrescere le proprie conoscenze. La statistica ha dunque due finalità: descrivere le caratteristiche di una popolazione; dare informazioni sulla popolazione a parità dei dati riguardanti un campione. Quindi, poiché spesso l’analisi statistica non riguarda un’intera popolazione, essa può essere definita come “l’insieme delle informazioni riferite a un contesto decisionale in condizione di incertezza”. L’incertezza nasce dal fatto che il campione non rappresenta il 100% della popolazione ed ecco perché nell’effettuare affermazioni inerenti alla statistica occorre utilizzare termini come: probabilmente e verosimilmente.

Per la raccolta delle informazioni sulla popolazione potrebbe rendersi necessario l’esame di un suo sottoinsieme. Definiamo la popolazione, universo o collettivo statistico, come l’insieme completo di tutte le unità oggetto di studio con dimensione N. Mentre definiamo il campione come il sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione con dimensione n. Indichiamo con il termine parametro una caratteristica specifica della popolazione e con il termine statistica una caratteristica specifica del campione. L’obiettivo è quello di giungere a delle affermazioni, basate su dati campionari, che abbiano una certa attendibilità anche sull’intera popolazione: è quindi necessario un campione rappresentativo della stessa popolazione.

Un importante principio da seguire nel processo di selezione del campione è la casualità. Il campionamento casuale semplice è il procedimento usato per selezionare un campione di n oggetti da una popolazione, in modo tale che ciascuna unità della popolazione sia scelta rigorosamente a caso e abbia la stessa opportunità di essere scelta. Ogni possibile campione di dimensione assegnata n, inoltre, deve avere la stessa possibilità di essere selezionato. Il campione ottenuto con questo metodo è noto come campione casuale. L’estrazione di un campione non è che un mezzo per raggiungere un fine. Infatti, la statistica si occupa dello studio di come trarre conclusioni su una popolazione quando le informazioni sono state ottenute da un campione, naturalmente rimarrà sempre un certo margine di incertezza.

Al fine di trasformare i dati in conoscenza e migliorare i processi decisionali possiamo usare: la statistica descrittiva, che comprende metodi grafici e numerici usati per sintetizzare ed elaborare i dati in modo da trasformarli, e la statistica inferenziale, che fornisce le basi per le previsioni e per le stime che consentono di trasformare le informazioni in conoscenza. La statistica inferenziale è un processo e non un semplice risultato numerico. Tale processo può comprendere stime, verifiche di ipotesi, analisi di relazioni e previsioni.

Capitolo 2

Le variabili possono essere classificate in diversi modi e la classificazione usata per la raccolta dei dati è fondamentale per la loro rappresentazione grafica. Distinguiamo:

Tipo e quantità di informazioni contenute nei dati

Se ci soffermiamo sul tipo e sulla quantità di informazioni contenute nei dati distinguiamo:

• Variabili categoriche: generano risposte che appartengono a gruppi o categorie, con risposte limitate a “sì/no”, o a questionari di valutazione.
• Variabili numeriche: comprendono variabili numeriche discrete caratterizzate da un numero finito di valori le quali generano risposte provenienti da un processo di conteggio; e variabili numeriche continue le quali generano risposte provenienti da un processo di misurazione e per tale motivo possono assumere qualsiasi numero all’interno dell’intervallo dei numeri reali.

Livelli di misurazione

Se ci soffermiamo sui livelli di misurazione distinguiamo:

• Dati qualitativi ai quali non può essere attribuito alcun significato misurabile alla differenza tra coppie di numeri. A questi dati vengono applicati i livelli di misurazione nominali e ordinali. I dati nominali derivano da risposte che presentano uno spettro di alternative limitato a “sì/no”. I dati ordinali derivano, invece, da risposte che presentano un ampio spettro di alternative generalmente derivanti da questionari.
• Dati quantitativi nei quali c’è un significato misurabile nella differenza tra coppie di numeri. A questi dati vengono applicati i livelli di misurazione della scala di intervallo e della scala di rapporto. La scala di intervallo indica l’ordine e la distanza da un’origine arbitraria, mentre la scala di rapporto indica l’ordine e la distanza da un’origine assoluta, cioè lo zero.

Variabili categoriche

Possiamo descrivere le variabili categoriche attraverso:

• Distribuzioni di frequenza, una tabella contenente nella colonna di sinistra le classi di misura e in quella di destra la frequenza, o numeri di osservazioni;
• Diagrammi a barre o a torta. Si utilizza un diagramma a barre per attirare l’attenzione sulla frequenza di ogni categoria e un diagramma a torta per attirare l’attenzione sulla proporzione della frequenza in ogni categoria;
• Diagramma di Pareto, un diagramma a barre utilizzato per evidenziare le cause di maggiore difettosità, dove la barra più a sinistra indica la causa più frequente: è usato per separare le poche cause rilevanti dalle numerose cause insignificanti;
• Grafico per serie storiche, al fine di rappresentare dati rilevati in momenti storici differenti. Indicando sull’asse orizzontale il tempo e su quella verticale le quantità, il grafico si ottiene congiungendo i punti.

Variabili numeriche

Possiamo descrivere le variabili numeriche attraverso:

• Distribuzioni di frequenza, una tabella costruita sulla base di 3 regole: 1. Determinare il numero di classi k: si decidono in modo arbitrario ma se selezioniamo troppe poche classi determiniamo una perdita di informazioni e se ne selezioniamo troppe potremmo scoprire che alcune non contengono osservazioni; 2. Determinare l’ampiezza delle classi, ottenuta come w=(valore massimo-valore minimo)/k; 3. Ogni classe deve essere collettivamente esaustiva e mutuamente esclusiva, cioè ogni classe deve comprendere l’insieme delle osservazioni senza sovrapposizioni. Tale tabella può contenere distribuzioni di frequenza: relative fi=xi/n, percentuali fp=fi x 100, relative cumulate, e percentuali cumulate;
• Istogrammi, un grafico composto da rettangoli verticali adiacenti costruito su una retta orizzontale sulla quale sono indicate le classi di intervallo indicate nella distribuzione di frequenza. L’area del rettangolo è proporzionale al numero di osservazioni della classe corrispondente. La forma del grafico rivela se i dati sono distribuiti in maniera simmetrica, se le osservazioni sono bilanciate intorno al valore centrale, o asimmetrica, cioè se le osservazioni presentano una asimmetria positiva con una coda che si estende verso destra o un’asimmetria negativa con coda verso sinistra;
• Ogiva, un grafico che rappresenta una spezzata ottenuta grazie alle frequenze percentuali cumulate;
• Diagrammi ramo-foglia, rappresenta un’alternativa all’istogramma. I dati sono raggruppati secondo le loro cifre più significative, rami, mentre le cifre meno significative, foglie, sono indicate a destra di ogni ramo, separatamente e in ordine non decrescente.

Relazioni tra variabili

Al fine di rappresentare le relazioni tra variabili, es. di quanto varia Q al variare di P, possiamo avvalerci di:

• Diagrammi di dispersione, si associa un punto sul piano cartesiano per ogni coppia di valori al fine di evidenziare i possibili valori di ogni variabile, la distribuzione dei dati, un’eventuale relazione tra variabili, la presenza di outlier, valori anomali;
• Tabelle a doppia entrata, utilizzata per descrivere le relazioni tra dati categorici, risultati di questionari di gradimento, elenca la frequenza delle osservazioni per ogni combinazione di classi di misura di due variabili. Il numero di celle è determinato dalle combinazioni di tutte le possibili classi per ognuna delle due variabili. Quando le due variabili sono entrambe qualitative si parla di tabella di contingenza. N.B! I grafici hanno un maggiore impatto visivo rispetto alle tabelle a doppia entrata.

Capitolo 3

Al fine di procedere a una descrizione numerica dei dati possiamo individuare diverse tipologie di misure:

Misure di tendenza centrale

Le misure di tendenza centrale forniscono informazioni quantitative sull’osservazione tipica dei dati. Distinguiamo:

• La media aritmetica, ottenuta come somma dei valori di tutte le osservazioni divisa per il numero di osservazioni;
• La mediana, costituita dall’osservazione centrale di un insieme di osservazioni ordinate in modo non decrescente o non crescente. Se n, la dimensione del campione, è un numero dispari, la mediana è l’osservazione centrale; se invece n è un numero pari la mediana si ottiene come media delle osservazioni centrali. Più in generale possiamo dire che la mediana si trova nella posizione 0,50(n+1) della sequenza ordinata;
• La moda, data dalla modalità che si presenta il maggior numero di volte.

Il confronto tra media e mediana ci offre informazioni in merito al fatto che una distribuzione sia simmetrica o asimmetrica: se la media è maggiore della mediana la distribuzione sarà obliqua a destra; se la media è inferiore alla mediana la distribuzione sarà obliqua a sinistra; infine, se la media e la mediana sono uguali la distribuzione sarà simmetrica. Una possibile fonte di asimmetria è la presenza di outlier o troppo grandi o troppo piccoli.

Misure di variabilità

Una misura di tendenza centrale da sola non fornisce una descrizione completa o sufficiente dei dati, ecco perché occorre integrarle con i seguenti dati:

• Campo di variazione, o range, ottenuto dalla differenza tra il massimo e il minimo dei valori osservati. Poiché prende in considerazione solo il massimo e il minimo non è una misura soddisfacente di dispersione poiché influenzato da outlier, o troppo grandi o troppo piccoli. Per ovviare a questa difficoltà si possono, dopo aver ordinato i dati, scartare i valori estremi e calcolare il campo di variazione;
• Differenza interquartile, o range interquartile, calcolata per misurare la variabilità del 50% centrale dei dati ottenuta attraverso la differenza tra il terzo quartile Q3 e il primo quartile Q1;
• I cinque numeri di sintesi, rappresentati dal minimo, dal primo quartile, dalla mediana, dal terzo quartile e dal massimo; questi dati possono essere rappresentati attraverso il diagramma a scatola e baffi.

Pur misurando la variabilità queste misure non sono sufficienti a descrivere i dati, occorre una misura che tenga conto di ogni osservazione e poi consideri la media delle distanze tra ciascuna osservazione e la media delle osservazioni. Ecco perché alle misure precedenti occorre aggiungere:

• La varianza, ottenuta dalla somma delle differenze al quadrato tra ciascuna osservazione e la media della popolazione, divisa per la dimensione della popolazione N. Se calcolata su un campione la formula presenta una variazione relativa alla dimensione n-1 con cui dividere la sommatoria;
• Lo scarto quadratico medio, o deviazione standard, ottenuto come radice della varianza al fine di riportare la misura espressa al quadrato, della varianza, che altrimenti risulterebbe negativa, in forma originale;
• Il coefficiente di variazione, rappresenta una misura di variabilità relativa, espressione dello scarto quadratico medio come percentuale della media (CV=σ/μ). Si tratta di un numero puro che non dipende dalla scala di misura della popolazione.

Rientra tra le misure di variabilità anche la disuguaglianza di Chebychev e la sua regola empirica, in base alla quale per ogni intervallo la percentuale di osservazioni che appartengono all’intervallo (μ-kσ - μ+kσ) è almeno 100[1-(1/k²)]%. Per molte popolazioni la regola empirica fornisce una valutazione della percentuale approssimata di osservazioni il cui scostamento dalla media è pari al massimo a una, due o tre volte lo scarto quadratico medio: il 68% sono nell’intervallo con k=1; il 95% in quello con k=2; e il 99,73% sono nell’intervallo con k=3.

Misure di sintesi per dati raggruppati

La media, la varianza e lo scarto quadratico medio possono essere calcolati anche per dati raggruppati usando misure di sintesi ponderate.

Misure delle relazioni tra variabili

Per descrivere una relazione lineare e misurarne la direzione occorre calcolare:

• La covarianza, misura la relazione lineare tra due variabili come sommatoria del prodotto tra le differenze tra ogni valore e la media delle osservazioni delle due variabili diviso per il numero di osservazioni, N o n-1. Un valore positivo indica una relazione diretta o positiva, mentre un valore negativo indica una relazione inversa. La covarianza dipende dall’unità di misura e non rappresenta quindi un indice adeguato per valutare l’intensità della relazione lineare;
• Il coefficiente di correlazione lineare, calcolato dividendo la covarianza per il prodotto tra gli scarti quadratici medi delle due variabili, rappresenta l’indice più appropriato per la valutazione dell’intensità: se r=-1 si avrà una relazione negativa, se r=1 si avrà una relazione positiva e per r=0 non si avrà alcuna relazione.

Metodo dei minimi quadrati: ci permette di evidenziare le relazioni funzionali per indicare l’effetto su una variabile indipendente al variare di una variabile dipendente attraverso la retta di regressione Y=b0+b1X1. Il valore b1 è ottenuto dividendo la covarianza per la varianza di x e indica la pendenza della retta, mentre b0 è l’ordinata all’origine ottenuta dalla differenza tra la media di y e la media di x moltiplicata per b1.

Capitolo 4

Al fine di pronunciare giudizi probabilistici su un problema in condizioni di incertezza è necessario sviluppare alcune definizioni e concetti:

• Un esperimento aleatorio, o esperimento casuale, è un processo che porta a due o più risultati, senza che si possa prevedere quale di questi si realizzi. I possibili risultati dell’esperimento casuale sono chiamati eventi elementari e l’insieme di questi eventi prende il nome di spazio campionario S.
• Un evento E è un sottoinsieme dello spazio campionario S.

Per poter effettuare un esperimento casuale e determinare la probabilità che un particolare evento si manifesti dobbiamo prima considerare tre differenti approcci alla probabilità:

• Definizione classica: ipotizzando che tutti i risultati dello spazio campionario siano ugualmente possibili, la probabilità di un evento è la proporzione di volte che un evento si verifica. Questa si determina dividendo il numero di eventi elementari dello spazio campionario che soddisfano l’evento per il numero di eventi elementari di S, P(A)=N_A/N, dove N_A è il numero di eventi elementari che soddisfano la condizione dell’evento A e N è il numero complessivo di eventi elementari dello spazio campionario. Il processo di conteggio degli eventi elementari può essere generalizzato usando la formula per calcolare il numero di combinazioni;
• Interpretazione frequentista: la probabilità è il limite della proporzione di volte in cui l’evento A si verifica in un numero molto elevato di n ripetizioni di un esperimento;
• Interpretazione soggettiva: la probabilità esprime il livello individuale di fiducia del verificarsi di un certo evento. Si tratta di un approccio usato soprattutto nelle decisioni di tipo gestionale.