N: naturali
Z: int. pos. e neg.
Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)
R: reali (irz., radici)
Assioma della completezza
∀A, B ⊆ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀a ∈ A, ∀b ∈ B,: a ≤ b⇒∃c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀a, ∀b
es: A = {x ∈ R: x > 0}
B = {x ∈ R: x ≤ -15}
C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}
Chiudetezza
A ⊆ R, A ≠ ∅
ch. sup. ∃K ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante
ch. inf. ∃R ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≥ h, A minorante
l. sup. ∃ r ∈ R, ∀a ∈ A: a ≤ r
l. inf. ∀ r ∈ R ∀a ∈ A: a ≥ h
N: naturali
Z: n. interi pos. e neg.
Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)
R: reali (irraz.: radici)
Assioma della completezza
∀ A, B ⊂ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B: a ≤ b⇒∃ c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀ a, ∀ b
es: A = {x ∈ R: x > 0}
B = {x ∈ R: x ≤ -15}
C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}
Chiudetezza
A ⊂ R, A ≠ ∅
- Ch. sup. ∃ K ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante
- Ch. inf. ∃ h ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≥ h, h minorante
- K. sup. ∃H ∈ R ∀a ∈ A : a ≤ h
- K. inf. ∀ h ∈ R ∀a ∈ A : a ≥ h
- Inf ∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≤ε - m≤a≤m
- Sup ∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≥ε a-c-m∀ε>m
Sup
A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a c.r. sup.
- s ≥ a∀ε>0. ∃a∈A: s-ε<a
Teorema esistenza
Ipotesi: A ≠∅
B = {k∈ℝ: k≥a ∀a∈a} ≠ ∅ a ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B
Teo (assioma della completezza). ∃c∈ℝ: a ≤ c ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B
Teorema unicità (per assurdo)
s3 = sup A → s3 ≤ s1 → s1 = s2
Inf
A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a. c.r. inf.
- i ≤ a∀ε>0 ∃a∈A: i+ε>a
Teorema esistenza
Ipotesi: A ≠ ∅, B = {k ∈ ℝ: k
Teorema (as. della completezza): ∃ c ∈ ℝ: b ≤ c ≤ a
Teorema unicità (per assurdo)
i1 = infA ⇒ i1 ≤ s1 ⇒ i2 ≥ s1
i2 = infA ⇒ i2 ≤ s1 ⇒ i2 ≤ i1
Successioni
Simbolo: (an)n
Dominio: ℕ (Codominio: ℝ ⇒ successioni numeriche)
es. in = an
Limitatezza
(an)n LH, inf. ∃ h ∈ ℝ: ∀ n ∈ ℕ ⇒ an ≥ h
Inf an = i
- i ≤ an∀ ε > 0 3 n₂ ∈ ℕ : i + ε > an
(an)n LU, inf. ∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ < k
inf aμ = -∞
(aμ) lim. sup. ∃ k ∈ ℜ ∀ μ ∈ ℕ ⇒ k > aμ
Sup aμ = S
- S ≥ aμ
- ∀ε > 0 ∃ μ ∈ ℕ : S - ε < aμ
(aμ) v.l. sup. ∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : qμ > k
sup aμ = +∞
Limite
∀ l ∃ μ ≤ l : ∀ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ Iμ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = l\)
ƒ I+∞ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ I+∞ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = +\infty\)
Convergente
∀ε > 0 lμ = μ̅(ε) ∃ μ̅s ≥ μ̆ ⇒ |aμ - l| < ε
l - ε < aμ < l + ε
Divergente a +∞
∀ε ∃ μ̆ ∈ (M) ∃ μ̅ ∈ ℕ : ∀ μ̅ ≥ μ̆ ⇒ |aμ| > M
Divergente a -∞
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