N: naturali
Z: int. pos. e neg.
Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)
R: reali (irz., radici)
Assioma della completezza
∀A, B ⊆ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀a ∈ A, ∀b ∈ B,: a ≤ b⇒∃c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀a, ∀b
es: A = {x ∈ R: x > 0}
B = {x ∈ R: x ≤ -15}
C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}
Chiudetezza
A ⊆ R, A ≠ ∅
ch. sup. ∃K ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante
ch. inf. ∃R ∈ R: ∀a ∈ A ⇒ a ≥ h, A minorante
l. sup. ∃ r ∈ R, ∀a ∈ A: a ≤ r
l. inf. ∀ r ∈ R ∀a ∈ A: a ≥ h
N: naturali
Z: n. interi pos. e neg.
Q: razionali (decimali, frazioni, periodici)
R: reali (irraz.: radici)
Assioma della completezza
∀ A, B ⊂ R, A ≠ ∅, B ≠ ∅; ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B: a ≤ b⇒∃ c ∈ R: a ≤ c ≤ b ∀ a, ∀ b
es: A = {x ∈ R: x > 0}
B = {x ∈ R: x ≤ -15}
C = {x ∈ R: -15 ≤ x ≤ 0}
Chiudetezza
A ⊂ R, A ≠ ∅
- Ch. sup. ∃ K ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≤ K, K maggiorante
- Ch. inf. ∃ h ∈ R: ∀ a ∈ A ⇒ a ≥ h, h minorante
- K. sup. ∃H ∈ R ∀a ∈ A : a ≤ h
- K. inf. ∀ h ∈ R ∀a ∈ A : a ≥ h
- Inf ∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≤ε - m≤a≤m
- Sup ∀ε>0. ∀a∈A ⇒ |a|≥ε a-c-m∀ε>m
Sup
A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a c.r. sup.
- s ≥ a∀ε>0. ∃a∈A: s-ε<a
Teorema esistenza
Ipotesi: A ≠∅
B = {k∈ℝ: k≥a ∀a∈a} ≠ ∅ a ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B
Teo (assioma della completezza). ∃c∈ℝ: a ≤ c ≤ k, ∀a∈A, ∀k∈B
Teorema unicità (per assurdo)
s3 = sup A → s3 ≤ s1 → s1 = s2
Inf
A ⊂ ℝ, A ≠ ∅, a. c.r. inf.
- i ≤ a∀ε>0 ∃a∈A: i+ε>a
Teorema esistenza
Ipotesi: A ≠ ∅, B = {k ∈ ℝ: k
Teorema (as. della completezza): ∃ c ∈ ℝ: b ≤ c ≤ a
Teorema unicità (per assurdo)
i1 = infA ⇒ i1 ≤ s1 ⇒ i2 ≥ s1
i2 = infA ⇒ i2 ≤ s1 ⇒ i2 ≤ i1
Successioni
Simbolo: (an)n
Dominio: ℕ (Codominio: ℝ ⇒ successioni numeriche)
es. in = an
Limitatezza
(an)n LH, inf. ∃ h ∈ ℝ: ∀ n ∈ ℕ ⇒ an ≥ h
Inf an = i
- i ≤ an∀ ε > 0 3 n₂ ∈ ℕ : i + ε > an
(an)n LU, inf. ∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ < k
inf aμ = -∞
(aμ) lim. sup. ∃ k ∈ ℜ ∀ μ ∈ ℕ ⇒ k > aμ
Sup aμ = S
- S ≥ aμ
- ∀ε > 0 ∃ μ ∈ ℕ : S - ε < aμ
(aμ) v.l. sup. ∀ k ∈ ℜ ∃ μ ∈ ℕ : qμ > k
sup aμ = +∞
Limite
∀ l ∃ μ ≤ l : ∀ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ Iμ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = l\)
ƒ I+∞ ∃ μ ∈ ℕ : ∀ μ ≥ μ̄ ⇒ aμ ∈ I+∞ ⇔ \(\lim_{{\mu \to \infty}} a\mu = +\infty\)
Convergente
∀ε > 0 lμ = μ̅(ε) ∃ μ̅s ≥ μ̆ ⇒ |aμ - l| < ε
l - ε < aμ < l + ε
Divergente a +∞
∀ε ∃ μ̆ ∈ (M) ∃ μ̅ ∈ ℕ : ∀ μ̅ ≥ μ̆ ⇒ |aμ| > M
Divergente a -∞
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
-
![Teoremi e teoria Analisi 1]()
Teoremi e teoria Analisi 1
-
![Analisi Matematica 1]()
Analisi Matematica 1
-
![Limite di una funzione: teoria ed esercizi]()
Limite di una funzione: teoria ed esercizi
-
![Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1]()
Appunti per passare l'esame di Analisi Matematica 1
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
