Schemi riassuntivi di Analisi matematica 1

Degli teoria insiemi

PROPOSIZIONE folsaP èè dielpuò: di cuiproposizione sesi vereuna oPREDICATO dipendeche de parametriproposizione: piùuna ounoDESCRIVERE /scomodoMODI Di INSIEME tuttiUN gli elementiElencare: · l'insieme· di insiemealtrosottoinsieme già notoscrivere uncome /proposizionitramite accettatecostruire insieme verlAssiori omunemente· comeunCONNETTIVI LOGICI :/"ree" (v· oppure0= ,1· 2= simbolo di negazione=· di implicazionesimbolo)=· = disimbolo equivalenza· = Può VARIARE-EXEIRIxEA xEB3AuBRIPASSINO v COMMUTATIVE: = IExc(R(xA1xzB3BA =n -EXEIR/ XB3XeAB I7 1 commutativaNon= B/può B)diACB A sottoinsieme enceescere=( =AA &BCB AyB propriosottoinsieme)=( me =& (sottoinsieme Insiemi)Insieme Tuttivuoto glidi=A /spesso l'insiemeCOMPLEMENTARE A si sottointende AEX)generalmente X tDi indicato enciente= cvema ..,A AX-: = #APIA) inclusoA A #P(A)partiINSIEME tutti sottoinsiemi stesso)Delle 2l'insieme die idi e: :,# di/numeroA elementi)Cardinalità Adi=EA elemento Aè dell'insiemea un& 3 A è dell'insiemesottoinsieme AunE(a / beb3A B b) rea prodotto cartesiano=nx = ,OBIETTIVO proposizioneImparare negorea: unaPiQ V & COMANDA VEROIL1 & FALSOCOMANDA ILF ÈI IMPORTANTENEGAZIONESIGNIFICATO INSIEME AMBIENTESPECIFICARECOMPLEMENTARE: UNimpliceQIMPLICAZIONE P P a· =: P /Q& p eè verelseveraseV è condizione↑ affinchésufficiente avolgaFORMA TUTTIQUASIDI QP soloCONOSCAMOTEOREMI CHEI sei è eEP Verap) seQ Falsa Qe Falsasolo=P piore= l'ombrelloQ esco con= a)n(PEa)Pla (P PEquivalenza· Q= equivalenti= e: sonoP solo ase seecondizioneQ effinchéè sufficiente PvolgaENecessaraLe viceversal T(Pva) +(pra)DiPPa TP Q Q)v = FFV ~Vv SF FVF F VFFV ~ V VFF ~VF V ~T(TP va)va)T(TP TP(a)T(p QTP QPQ v== FF F FV V V~ FF F VF W v~ FF V ~WF VFFF FF FF wVQUANTIFICATORI :V ogni ogni= per,.7 almenoesiste= un ...Unico=. IPOTESI&DIFORMA TEOREMA P P QUN =S: , è/voglio dimostrare& verelcheTESIPER ASSURDODIMOSTRAZIONE /confermaSupponiamo teoremaP ilèPallora>Q: non vera= vera non,(p >a) P==NUMERI REALI*FATTO VnEN è fattorizzabile: in unicamanierain di· scomponibile prodotto priminumeriRIGUARDO D'ORDINERELAZIONEASSIOMI UNA :haVx yEIR1 chesi DICOTOMIA=vyX X= y. , PROPRIETÀ TRANSITIVAXz).2 e y zzse =yx = PROPRIETÀ ANTISSIMMETRICA.3 sexy (xe y y X= =VxEIR PROPRIETA RIFLESSIVAXX =4 . ,.5 se X = x z== z+y y +.6 Se =Xz20 z Yx z)e =y . . [xMODULO XEIRValore Dot I eAssoluto seo : =:,PROPRIETÀ 1x130MODULO |1: x) 0e 0sse X= =. -(x) 1 |x) ( x2 (y| |1.x y= - - =. ,(x (y DI(x|| SUGUAGLIANZA.3 |= + TRIANGOLAREy+ I((x1 (y1)[(x /y- -LIMITATOINSIEME X9XIRSie: , MXxEXJMEIRX è tSuperiormente· LIMITATO x =cse . . UXEXEX JMEIRè Inferiormente XIMLIMITATO· se c. .X inferiormenteè chesiaè superiormentelo· Limitato seINTERVALLI bEIRDoti: a , 3X(IR(acx(by [X((R/xca3e(XIR(x(b3(a b) =: =, GX b3[a (IR (22xb] =: =,INTORNO XoEIRREIRDoti: 200 e, 3EXIRI (Xo-ml'insieme 2)IX-Xo1BIxo <* XoDefiniamo INTORNO di +DI RAGGnor =Xo = ,V x}(X-Xo Xomax -,INSIEME APERTO ErcoCHIUSOE VxoEAèACIR BalolCAtAPERTO: se c. .AIR il complementaree èCHIUSO apertose suoe10 b) aperho· ,[a b] è chiuso· , byla ne chiusoneè apertonon· ,,IR apertiO che chiusisia· e sonoMAGGIORANTE MINORANTE XQXCIRe Doto diciamo: che, ExeXJMEIRèM maggiorente X M2Xt· seun per c. .JMEIR UxEXè tXM minorante Maxse· un per c. .MINIMOMASSIMO XCIR diciamo cheDoto XXQe : ,M MEXè maggioranteXè· semassimo seper eununèM MEXX· minimo è minoranteun se seeper unammetteOSSERVAZIONI superiormenteèinsieme limitatomaggioranti sse: un· inferiormenteinsieme ammette è limitatominorenti sse· un infinitiammette emmettemaggioranti minorentiinsieme elo allorase· neun ilil esistono,minimomassimo unicise· sono,einsieme minimocardinalitàdi finita ammetteogni sempre massimo· eESTREMO SUPERIORE INFERIORE XIR& &Doto X =: ,M Xinsieme dei maggioranti= perM deiinsieme Xminoranti per=xdefinisco MXestremo di· il minimo,X esiste dell'insiemesesuperiore , dell'insieme Mxdefinisco di ilestremo esistemassimoXinferiore· se, ,OSSERVAZIONI limitato SupXèX 0superiormenteSe non +: =limitatoè XX inferiormente infXse non -=ASSIOMA COMPLETEZZADI DEDEKINDDI :&Ogni XIR Xinsieme ammette estremosuperiormente+ limitato IRsuperiore in, **,Ogni XSIR inferiormenteXinsieme inferioreammette estremolimitato IRin, AMMETTE UNICO& ESTREMO SUPERIORE(12xXxeXXXQXEIRPROPOSIZIONE superiormente (allorelimitato supX1 =: s=,, Vaso FXgEX t Xg)L-Ec..(e XXxeXC =XXQ infxXEIRproposizione inferiormente allorelimitato2 =s: =,, Vaso FXgEX t EXg)e +c..AMMETTE UNICO· INFERIOREESTREMOASIROSSERVAZIONI maxA supAalloraSia se a >a: = c ==A infAmin aa ===PROPRIETÀ ARCHIMEDEA IneNNUMERI REALIDEL yEIR tDoti: X nxyNo c, ..,L'UnioneOSSERVAZIONE di apertiArbitraria èinsiemi aperta1 : l'intersezione apertidiFINITA apertainsiemi èl'intersezione dettodi èArbITMARIA apertasiainsiemi apenti nonl'intersezione ArbitrarIA diOSSERVAZIONE è.2 chiusi chiusal'unione èchiusidi chiusoFINITA unARCHIMEDEAPROPRIETÀCONSEGUENZA VEsoSe: <2 0)120 e = =cINTERA REALEPARTE NUMERO J'meZDI DotO XEIR: tUN mexemAn.,SIMBOr[X]ÈQ VaIR FqeQ acqcbDENSO ab 1bEIRIN doto 5qeQXeIR Esco t: 1x-913c =s c.. .,, , ,hadiqualunque reali almeno razionale incoppia sempre menzouninsazionaliSci corrispondentideisolo aglibuchisonoPUNTO AACCUMULAZIONE XoEIRACIR di accumulazionedi Sia puntodettoè: per se,Bixol-Ex03Vaso (xo èdna Appartenere a)debba AddettononPRINCIPIO 19 AININDUZIONEDI Dato qualeilVERSIONE volgono: : peri) DEA (P)V ii) neA 1 A a)dim.prende (P>nLo si se = )= +per senzavero Allora NAessendo edequivalentequesto =ma dimostrabile consideroun'altre cosa ,dimostrazionequella suacome 2 Doto BEN qualeVersione il volgonoper: i) Bno Eii) neB 1 EBSe )ne +nno =,E ne NI no3Allora B nz=(A ne B)EmeN/m non= -= ,32 BENSia NPVERSIONE predicatoe su se: un ,i) Pino è veraii) Una P(n) P(n 1)> +=no veroAllora p è nano(B Ent N/P(n(3)=PROPRIETA P(n) Pante)INDUTTIVA : = etrabtealb anche bVEROOSSERVAZIONE seINDUTTIVO aconoscovere=s: vera non ,latbi" aBINOMIO NEWTONDI ha meNabroDati: si n,DEFFICIENTI BINOMIALI&e(n) in !: 10 == ! !1)(n n=n -OSSERVAZIONE 1 : !00 1=n =· %! !01 b)(a + ! !(2) 1b) 1(a n =·11 1+ 1= =!! -1)(n :!(1-0 10b)2(a12M + b)3 ! !! 22 2(a331 · 2+1 =n 21 1== =!!! !1(2-1) !:(2-0 (2-2) 20b4)(a46h +11 L la-bjYcoefficienti delle PotenzeVarie DIosservazione(m) (m) (+ = x)"1DISUGUAGLIANZA BERNOULLI (1 disuguaglianzeDI new1: X3-1nx+ stretta+ meneper X7o, "yMEDIA GEOMETRICA ARITMETICA + +YDati yavoleO : ynyn yaso .. , ..........,, MMEDIAL ~MEDIAGEOMETRI A AARITMETIL'uguaglianza tuttivole trauguali loroyise sonocog 20gyn=logy ++...OSSERVAZIONE 1yn·: .... n20gyn20g y ++...,. neyn =.. .. FUNZIONIdefinire didevo elementifunzione Adevo definireAPer modo glidue Binsiemi quelliassociareee peravereuna un amodoindi B che AssociatovengaAd A Elemento BOGNI Elemento Disoldi eUno unoCODOMINIO&DOMINIOSf A B>: b f(a) tramite(immagine di gIa = eINIETTIVITÀ A IBG antA frankfloriniettiva datiè enza: sse en =: se,,SURIETTIVITÀ FbEB JoEA fralbsurettiveè tIBAg se: : c. . J gian-gialAfunzione fi formata (Imif)CBA suriettivaadsuriettiva :può essereuna :esserenon ,~RESTRIZIONE CODOMINIODELEbEB fral=b3IMMAGINE FUNZIONE tDI JaEAImIglUNA InIgleB: = c. ., glel3GlaGRAFICO G1fI-AxBFUNZIONEDI b)EAxBaeAG1f1 bUNA : =: a,,RESTRIZIONE FUNZIONEDI UNA ADota 8 IB: : &A Èdichiomo f funzionelaaddato restrizioneSSIMBOL e ,: Joel5 gle)1B =, funzioneTramite delrestrizione DOMINIO iniettivarendere iniettiva unaposso nonunaFUNZIONE INVERTIBILE (INETTIVAfunzioneUna invertifierA ci Suriettivaliettivaf è: liurivocaè se: ladefiniscoSe è modoinvertibile inversaf questoin, sua :8 B A: f" (b)↓ /iniettiva) GiaAdiquell'unico11a è elemento bt= a c =..CARDINALITÀ NEN 151Doto 138A Acardinalitàdico che ha liezioneinsieme A esiste: 2 3,se una : . ....,,hannoA CardinalitàBSeOSSERVAZIONE FINITA: e #B#AA B8 iniettiva>: #A1 #BAf B suriettive>: = #A =A <Bf liieltiva B=: A Ag finiettiva suriettival è:8. A <A seriettiva f iniettivaè gA èf /quindi ancheIBOsservazione B-LA invertibileinvertibile) alloreliettiva liettivaèSe e:: :EQUIPOTENZA A dicono hanno/ovverodue equipotentiDati B la cardinalitàstessainsiemi siquesti: e ,IBA fiettivef èse : Afi B Ainiettiva iniettivaBfeovvero se : :giN1ZN condineitE honno 1stessela liettiva· comne Per.N honnoQ la stesse cardinalitàe· MoIR Cardinalità NhonnoN cardinalitàla stessae di· Non =& IRCardinalità di=TRACOMPOSIZIONE FUNZIONI due ffunzioniDate A A BCB C insiemi: : ,, ,Bicg :gof Adefiniscesi fC DOMINIOCODOMINIO: G=alig(f(ai) REALLFUNZIONI A VARIABILIfFUNZIONE CRESCENTE AEIR f(x)yEA f(y)'IR dice crescente: si ==sxy: xse . ,dice geAstrettamentesi f(y)crescente f(x)xse =x y <, ,FUNZIONE fDECRESCENTE AEIR decrescente f(x)yEA f(y)'IR dice =: si =sxy: xse , ,decrescente geAdice f(y)strettamente f(x))si xse =yx, ,funzioneOSSERVAZIONE costante crescentesia che decrescenteè: unaFUNZIONE MONOTONA èdice decrescentemonotonaG: crescentesi se oppure& dice decrescentestrettamente strettamentemonotonasi crescentestrettamente èse o(codominioadforzoOSSERVAZIONE immagine)strettamente monotonag è la liunivocarendosuriettivalaSe eessere: ,invertibile /sef è=> è lo già appostalora seiSuriETTIVITAINIETTIVITÀMONOTONIA Non=FUNZIONE LIMITATA Infifunzione limitataf è limitatodice insiemeimmagineUna lasi: se overunsua ,IM30 ft A 'IRse :c. .1f(x)1M VX A EQUIVALENTI1VXAMM2f(x) =- Syt(R/y A3 [ m]f(x) = u+x -= ,,& fixisMè superiormente limitata· sef fexisMlimitataè inferiormente se· ELEMENTARIFUNZIONI POTENZE: RADICIESPONENZIALILOGARITMI TANGENTECOSENOSENO ,, ARCOTANGENTEARCOSENO ARCOCOSENO, ,FUNZIONI IPERBOLICHE : e ettedendeleSENO IPERBOLIG cosh(t)coseno iperbolico =T(-t)sent (t)sent· = -coshit)20sh(-t)· =cosh2 sensi 1(t)(t)· =- etsent(t)cosh(t) +· : SUCCESSIONIDEFINIZIONE N CIRè funzionesuccessione: Una a :una Sembrersolitamente la acr)staimmagineindicatasuccessione viene cheenpropria con perconuna ,neN3EX((R)& enbnew acn)x= = ,studiore delleasintotico successioniOBIETTIVO comportamento: GanzMITE Sand CEIRL haData chedato limite e