Schemi di Statistica

Media campionaria e principali misure statistiche

Media campionaria

Media campionaria X̄ = ¹/_m ∑^m_i=1 X_i

Mediana campionaria

Mediana campionaria X̄ = mettere i valori in ordine crescente ed individuare il valore centrale.

• Se i valori sono pari —> 1 valore.
• Se i valori sono dispari —> si sommano due valori e si divide per due.

Media troncata

Media troncata X_tr = ottenuto togliendo il a% dei valori più grandi e il a% dei valori più piccoli.

Range

Range r = X_max - X_min

Varianza campionaria

Varianza campionaria s² = ^{∑m_i=1 (X_i - X̄)2}/_m-1

Scarto quadratico medio

Scarto quadratico medio s = √(^{∑m_i=1 (X_i - X̄)2}/_m-1)

Spazio campionario ed eventi

Spazio campionario

Spazio campionario S = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento statistico.

Evento

Evento: sottoinsieme di uno spazio campionario.

• Complementare: A^c è l'evento che non contiene opposto di A.
• Intersezione: A ∩ B è l'evento che contiene tutti gli elementi comuni ad A e B.
• Disgiunto: A ∩ B = ∅ —> non hanno elementi in comune.
• Unione: A ∪ B è l'evento che contiene tutti gli elementi che appartengono ad A o B o ad entrambi.

Misure campionarie e definizioni ripetute

Media campionaria

Media campionaria X̄ = ¹/_m ∑_i=1^m X_i

Mediana campionaria

Mediana campionaria X̃ = mettere i valori in ordine crescente ed individuare il valore centrale.

• Se i valori sono pari - 1 valore.
• Se i valori sono dispari - sommare 2 e dividere per due.

Media troncata

Media troncata X_t = ottenuta togliendo a% dei valori più grandi, e a% dei valori più piccoli.

Range

Range r = X_max - X_min

Varianza campionaria

Varianza campionaria s² = ∑_i=1^m (X_i - X̄)² / m-1

Scarto quadratico medio

Scarto quadratico medio s = √(∑_i=1^m (X_i - X̄)² / m-1)

Spazio campionario

Spazio campionario S = insieme di tutti possibili esiti di un esperimento statistico.

Evento

Evento: sottoinsieme di uno spazio campionario.

• Complementare - A' è l'evento che non contiene A.
• Intersezione - A∩B è l'evento che contiene tutti gli elementi comuni ad A e B.
• Disgiunta - A∩B = Ø non hanno elementi in comune.
• Unione - A∪B è l'evento che contiene tutti gli elementi che appartengono ad A o B o ad entrambi.

Probabilità e proprietà

Probabilità

Probabilità = ^m/_n = casi favorevoli (all'evento in questione) / casi possibili.

Elementi di proprietà

Monotonia

A ⊆ B

P(A) ≤ P(B)

Complementare

P(A^c) = 1 - P(A)

Regola additiva

Regola additiva

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Vale sia per unione che per intersezione.

Eventi indipendenti

Eventi indipendenti

A e B sono indipendenti sse

P(B) = P(B|A) = P(B | A^c)

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Proprietà matematica

Proprietà matematica

P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A ∩ B)

P(A^c ∩ B^c) = 1 - P(A ∪ B)

Teorema di Bayes

Teorema di Bayes

P(B | A) = ^{P(B) . P(A | B)}/_P(A)

P(A) = P(B) . P(A | B) + P(B^c) . P(A | B^c)

P(B^c | A) = ^{P(Bc) . P(A | Bc)}/_P(A)

Esempio 2.44

Adulto > 60

P che un adulto > 60 anni riceva una diagnosi di essere affetto da cancro =

P = P(D|C) . P(C) + P(D|C^c) . P(C^c)

= 0,70 . 0,05 + 0,06 . 0,95 = 0,096

Variabile casuale

Variabile casuale

È una funzione che associa ad ogni elemento S dello spazio campionario S, un numero reale.

X : S → ℝ

L’insieme dei valori assunti da v.c. è detto range.

V.C. discrete

V.C. discrete

Se l’insieme dei possibili valori è al più numerabile.

Es. dominio, numerabilità

Funzione di probabilità: f(x) > 0 ∀ x

∑ f(x) = 1

fcn le v. che associamo alla probabilità dell’evento X che assume valore x

V.C. continue

V.C. continue

Se assume valori su scala continua.

V.C. suo range è un intervallo (limitato, illimitato)

Funzione di densità di probabilità è definita sull’asse dei numeri reali!

f(x) > 0 ∀ x ∈ ℝ

∫ f(x) dx = 1

Funzione di distribuzione cumulativa

Funzione di distribuzione cumulativa

F(X) a una v.c. continua X con funzione f(x)

F(X) = P(X ≤ x) = ∫ f(t) dt