Schemi di Analisi 1 (tutto il programma)

Le funzioni

Funzione X, Y → corrispondenza che ad ogni elemento di X associa uno ed un solo elemento di Y.

Si scrive: f: X → Y oppure y = f(x)

Y è detta immagine di X e l’insieme delle immagini è un sottoinsieme dell’insieme Y (cioè può non corrispondere all’intero asse Y).

Proprietà delle funzioni

f è iniettiva → ∀ x₁, x₂ ∈ X, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Oppure se f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

f è suriettiva → ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X t.c. y = f(x)

f è biiettiva → se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva

Se f è una funzione biiettiva (o biunivoca) allora esiste la sua funzione inversa (f^-1 cioè f è invertibile).

f: X → Y Y → X f(x) = y f^-1(x) = g(y) = x

N.B. → se sto operando all’interno dell’insieme IR dei numeri reali, affinché f sia invertibile è sufficiente che sia iniettiva (perché posso restringere il dominio di f^-1(x)).

Logica

Predicato → affermazione che contiene un elemento che la regola specificata usando il quantificatore

Ex. → “X ≥ 1” è un predicato

Proposizione → affermazione che posso considerare vera o falsa

Ex. → ∃ x ∈ Q t.c. x² + 1” è una proposizione (vera)

Operazioni logiche

Operazioni logiche tra due proposizioni P e Q generiche:

• Negazione P = P̅ → è vera se P è falsa e viceversa
• Congiunzione P ∧ Q → è vera solo se P e Q sono vere
• Disgiunzione P ∨ Q → è vera se almeno una tra P e Q è vera
• Implicazione P ⇒ Q → è falsa se solo se P è vera e Q è falsa
• Doppia implicazione ↔ è vera se sono entrambi vere o entrambe false

Leggi di De Morgan

(P ∧ Q) = P̅ ∨ Q̅

(P ∨ Q) = P̅ ∧ Q̅

Le funzioni

Funzione X, Y ➔ corrispondenza che ad ogni elemento di X associa uno ed un solo elemento di Y.

Si scrive:

y è detta immagine di x, e l'insieme delle immagini è un sottoinsieme dell'insieme Y (cioè Y non corrisponde all'intero asse Y)

Proprietà delle funzioni

f è iniettiva ➔ ∀x₁, x₂ ∈ X, x₁ ≠ x₂ ➔ f(x₁) ≠ f(x₂)

f è suriettiva ➔ ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X t.c. y = f(x)

f è biiettiva ➔ se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva

N.B. ➔ se sto operando all'interno dell'insieme ℝ dei numeri reali, affinché f sia iniettiva è sufficiente che sia inversa.

Logica

Predicato ➔ affermazione che contiene un elemento che la renderlo specificato usando il quantificatore

Proposizione ➔ affermazione che posso considerare vera o falsa

Operazioni logiche tra due proposizioni P e Q generiche:

• Negazione ￢P ➔ ￢P è vera se P è falsa e viceversa
• Congiunzione P ∧ Q ➔ è vera solo se P e Q sono vere
• Disgiunzione P ∨ Q ➔ è vera se almeno una tra P e Q è vera
• Implicazione P → Q ➔ è falsa se solo se P è vera e Q è falsa
• Doppia implicazione ↔ ➔ è vera se sono entrambe vere o entrambe false

Leggi di De Morgan

￢(P ∧ Q) = ￢P ∨ ￢Q

￢(P ∨ Q) = ￢P ∧ ￢Q

L'affermazione P equivale a

L'affermazione equivale a

I teoremi

Ne esistono di due tipi, nel primo tipo e nel secondo tipo

Tipi di dimostrazione dei teoremi del primo tipo:

• Diretta (se P è vera allora è vera anche Q)
• Per assurdo 1 (se non è vera
• Per assurdo 2 (equivalente a è palesemente
• Per induzione (P(n) è vera per ogni n)

Si dimostra che P(0) è vera

Si dimostra che se P(n) è vera allora P(n+1) è vera

Gli insiemi

Ex. insieme I: { semi carte } = {} singolo elemento sottoinsieme si

Se l'insieme A = {}

Dati due insieme generici. A e B, esistono le operazioni di unione e intersezione

Legge di De Morgan

• A ∩ B = A ∪ B
• A ∪ B = A ∩ B

Dati due insieme generici I e J, il loro prodotto cartesiano è:

N.B. (a,b) ≠ (b,a) perché sono