Schemi Analisi 2

Analisi II série di Fourier (exe 1)

dove

Integrale per parti

Th convergenza puntuale

se f(x) è 2pi-periodica e regolare ai tratti allora la serie di Fourier converge alla equalf(x).

dove f(x)f(x) se f(x) è continua in quel intervallox = x₀x = x₀x = x₀x = x₀

N.B. f(x) è resolable o debils se:

AM.1limdennokden dann okok dennwieder okx = x₀x = x₀

Tema d'esame

F(x)

Analisi II serie di Fourier (es. 1)

S_f(x) = a₀/2 + Σ_k=1^∞ (a_kcos(kωx) + b_ksin(kωx))

dove

a₀ = (1/π)∫f(x)dx

a_n = (1/π)∫f(x)cos(nωx)dx

b_k = (1/π)∫f(x)sin(kωx)dx

Integrale per parti

∫x cos(ωx)dx

u = x

v' = cos(ωx)

u' = 1

v = sin(ωx)/ω

∫udv = uv - ∫vdu

= x sin(ωx)/ω - ∫1 sin(ωx)/ω dx

Th convergenza puntuale

se f(x) è 2π-periodica e regolare ai tratti allora la serie di Fourier converge alla dove

f(x) se f(x) è continua in quel intervallo

(1/2)(lim_{x → x⁺} f(x) + lim_{x → x^-} f(x)) nei punti in cui è discontinua

NB f(x) è regolare ai tratti se:

• Limitata e l’intervallo è divisibile in M intervalli
• Lim_{x → x⁺} f(x) = lim_{x → x^-} f(x)
• Lim_{x → x^-}lim_{x → x^-}

Tema d’esame 12/04/2021

f(x) = {-4    x ∈(0,2π)

f(x) = 2 o.a.a sommarsi{ (1/2π)∫(1/2) = Σ_n=0 ((9/(m + 1)) + ((Λ(m,y))/E)) Σ

f(x)=|x|_f(x) = ^x_|x|∫|x|dx

∑_x=0 ^∞cosx + 5x2⁵xk=2mk=2m+1

∫_cosxdx = ^sinx_k(-1)^k+1 =

Dominio di funzione (exe 1)

^x = definito se solo se √t/o√x

x²-1_x = definito se solo se

arccos_ex = definito se solo se

a^l = definito se solo se x ≠ k π th k ∈|Z

arc_tgx

Come disegnare il grafico nel piano cartesiano

x=f(t)

y=f(x)

f(x,y,) <f (x,y,) <=

conconconcon|x < d|

Curve (ex e z)

γ(t) = (X(t), Y(t)) con t∊[a, b]

Proprietà di una curva

• Chiusa: quando il punto finale coincide con quello iniziale ⇔ γ(a)≡γ(b) con t∊[a, b]
• Semplice: quando presi 2 isolom diversi stanno in 2 posizioni diverse ⇔ t₁ ≠ t₂ ⇒ γ(t₁) ≠ γ(t₂) con t₁, t₂∊I
• Regolare: c e derivabile γ'(t)≠0 ∀t∊[a, b] oppure X'(t)∥∥≠0

Regolare a tratti

sulla curva γ: esaminando se può dividere l'intervallo [a, b] in n subintervalli dove ognuna delle quali è regolare

Sostegno: L'immagine I = C = γ : {C∊ℝ: ∃t∈I. ∋ γ(t)=x}

Nota bene: se γ: è chiuso allora ≡ semplice se solo se per uno t₁ e t₂ I≠J ⇔_{t1=t2 [C] e [a, b]}

Curve equivalenti

Curve equivalenti: date 2 curve γ(t): [b₁, b₂]→ ℝ^m e η(t): [b₁ d, b]→ ℝ regolano il bordo, si dicono equivalenti se, sd∃ ψ: [c₁, c₂]→[a, b] d.i.c, o ψ invertibile

ψ ∈ C₁ e derivabile

dj={ψ(c)} 이deg ∃ t[ψ] ≈ b₁[0, 2] ∫ b₂

γ(t)={cos(zs), sin(zs)} s∊[0,π₁]

ψ(t=cos(t), sin(2t)) t∊[0,2π]2S=z S= |ψ(z₁=t)|⇔