Schemi Analisi 2

Considerazioni utili

Y2Xfix superiore Falda come di+ uny)· =,f(x y)x2 Paraboloide iperbolico y)· = -, scaureprodotto <U U . UnVe MaVz> UnUn+= +...+=, Cudetprodotto Vettoriale An UX: = MU)(hdet =MISTO [1w)PRODOTIO (4 =, FEIRUPROPRIETÀ 1)VETTORI IV120(V1 004)V ==d(xDISTANZA )1y) 0 4+= =,--PUNTI2 TTRA 1x1xy12) 11411| DEFINIZIONEPER= . ↓12 =X 1X1 11011X)X (*)VCr< = .= ,,3) TRIANGOLAREDISUGUAGLIANZA <(41 14/14 ( 1+ +4) IN IVIDISUGUAGLIANZA SCHWAREDi 1 =ICK K)Idisuguaglianza IGR IVi25) 21CUAverY-SCHWARz >IDi : +.6) AREA Parallelogrammo141VI definitose 3 Da U,vn = :· -WSlICU definitovolume, da1 Solido= WU,v,· glido lungo

Metodi di studio

Restringo studioMETODI LimitediStudio OPer Un yeXassi. O ASSIPERCONTROLLARE CHE YGLIDI XSIA ACC e.FASCIO RETTERESTRINCO.01 Ad diUn. CONFRONTOTHUSO,11 .. SeEUSO Per OttenereDefinizione RELAZIONECerca2 Tra1. Limite Midi. X0KS 19111-elE21 t +1g(x1 1(11-Xol *< -c- -. .CORDINATE POURI3 USO.1 . ↓ Sy/xyllLimite 9 Da1 dipendere fnon deve da sol ==,seyo 411191x fix0 0=1: ,· =1aix , inin e-cosxNOTEVOLILIMITI S· x2a= -1lin loga=> 0X X- =2ga(120g(1lin x) x1ein+ +1= 0X+ X+0x gaXx)P(1lin + 1 pEIR- pc=+ 0X Xlin erchant 1=tX +0DIFFERENCIABILITA deveO verificato deinderivabilecontinua Yoessere vae: ,8(x)-f(10) D8(0)< 1xlin X0K 0- -, =X0X + 1 (X 2011-1° partendo del vincolo lequazionedonnodi chefunzioneesplicitoMassimi e inMetodo miriceversaMiniMi X X: o: fix testo dell'esercivosostituisco neldovedella studiaredevocurva y) e,fixstudio in restrizioned una suayi,O METODO parametrillazione2 dell datacurvaUso una: -xx) (y(x - -ah

Curve e coordinate polari

INTERSECA SEMIASIECHE ASSEIPERBOLE X ORIZ2& = .VERTb SEMIASSE=- .IX-xc) 1IPERBOLE INTERSECA ASSE YChe -02 A22it] DIRCoCARDIOiDe : -. 11sengiseg)/11 1sen9(coss9 +H + - ..,Curva ChiusaVORDANdi Semplicepiana-d· ,, Ei)RECOARE TRATIlA (non in· :PERCORSA SENSO NECATIVOIn· i2ROVESCIATA Li]Co DIRCARDIOIDE r : -,9 g)Integ/IntegrossIt S↑, W ..·senS 25]St(0(9) 1 + POLAREEQ.p con: .. poincarel verificare E1) conservativochedel teoremaCalcolo Ilungodi campolavoro dila= b2) SEC VIb))-UUel)[CE Tds dtrAvore U POTENE= = con =: ,, ècolcole scomodofore il considerarese posso curvas oliunau con· con essendo ESTESSI Conservativo

Estremi e topologia in R^n

ESTREMI Di ETOPOLOGIA IN R^n GyEIR"Idlyixolcr3Brixol XoEIRhRAGGIO IDI 10 ESFERICOINTORNO con: m O>E12-Xol 1y Xoi): -: della Sfera/ pallabordoNota il: oDELL'INTERVAIL6 ESTREMILIElyi-Voil1823Ely IYal 1)/se compresi: sono...... Nonn = SFEralINTERNI aPUNTIC SEGMENTO/CIRCONF .è Jrso tX0fir"1) ICIRV t Br(Yol IsottoinsiemeUnDEFINIZIONI diIntorno :un: c c. .. .2) AIR" IRYDoto insieme YOEun eE A BrixolA XoEAcontieneA tErgointorno diXO INTERO contieneAD +Xose c.un· .E BrixonAIR"-ACA EErso 0 XESTERNO A AinternoeAd dose eXO >=c:= -a· . .EVrcoÈ A 0Bu(x0)nAe nePer interoXo estemone #FRONTIERA =DI se non· Br/XoIn &A 0+ An(Brixo-Ex03)È dise An/I-3X03] O UrsoPer a lLo intornodi Accumulazione 4)Xo· 1SytIR" /ocly X0)er3--m↓ d/yXd"EscuSOD" =È e An/Br(xo)- [x03)tarcoXoEAaper diXoeaLe accumulazioneun sepunto #Isolato None c· ..,O EPUNTIA A3 AInterNOTAZIONI DI: =: GA EFRONTIEra A3: = Di: èAuda ablaEchiusura aNota perdi disono accumulazionediTutti puntii= = :A: ElaèA EXEIR"chiuse [13ApertoDEFINIZIONI ma NOTA CHIUSOse :1 eIR"È A ACaA ApertohseChiuso -= =haAsIR"Doto definizione

Osservazioni e proposizioni

OSSERVAZIONI siper :1) EA ==2) VEIR", frontieraè diinterno duealtriestemo escludedognuno gliX , o -3) frontieradiXoEA l'altroè interno escludese Xo dunooppure, DISGIUNTAUNIONE=YoEIRV4) Dato AccumulazionePuntointerveXose => di. eFrontiera Accumulazionese Xo di Isolatodipunto= lo· ose FRONTIENAXO DiIsolato10 =>· XoeAccumulazionedise )· =o e Iisolati3 SpuntiSpuntiAeparticolarein ?accumul .IRh O gli insiemi Apertichiusie Chesiaunicisono· eL'Unione ApertaArbitraria ApertiPROPOSIZIONI di1.: eL'Intersezione ApertiFinita Apertadi.2 èL'Unione3. Chiusafinita di chiusi ÈArbitrariaL'INTERSEZIONE CHIUSAh di Chiusi. 2(nAi) USADELEGGI DI MORCAN :1 =. CA APERTO.2 A HCHIUSO viceverseeSIMMETRIA SFRUTIO del GraficidisegnoLeD) Per Velocizzare IlA SIR" y)A(At)(è (XA ASSERispetto Y DIsimmetrico Xy) SIMMETRIAse -X MD· ,,ACIR" E -y)EAY y)EARISPETTO AsseASIMMETRICO IX(X SIMMETRIAX7) diudSe· .,ÈASIR" y)EA(Xyiea -XiRispetto HAll'origine Sesimmetrico -· A XA ALL'ORIGINEY SEMPREViceversaRISPETTOA SIMMETRICORISPETTOSIMMETTRICO e Vale-d NONILme

Successioni

SUCCESSIONI (kYk2 XnEIRY Un ECon. ConCEIR" = XnH2CONVERSE oDEFINIZIONE InInc A ovvero +=penno,. In?VI Vardi E Xne]innome# C. . -Ven XnEBgle) VaiIn-2kEVEso 7521 E# IC. .Lim 11k-21# 0=d+-k Xl(ein lin(limxnlimlim =2 VilCiPROPOSIZIONE ud Aki NOTAZIONEn =:=k ...,, ..., ,+ne o- +4IlIl In, ..., XoEIR"ACIR"DotOTEOREMA accumulazioneè APerpuntoa Yo di, AnEALEXo3S5(X/k IRh t FrainH c. .1 In 10>-ain chiusoparticolore I a dellese contiene SUCCESSIONI CONVERGENTISueLimiti ovveri XnEA XoEAtVIIn Ver e XneXo >=c. .1ÈACIR" BullLIMITATO 5130 E ADEFINIZIONE # =C .. o [InI It :seINTORNO DI ni1+ +: c.. ,, TR 2003IR123 0 -4[tITO 1 NOTAIN Re SeDI v:n- =c. -: :., . 02-45322 34tI 81DI 00INTORNO se +: - vn = e .. , ,, 12 Br(0)IR-eIcirn 2 R"-Unai Bulo1)Definizioni # ,doIntorno di, I EXEIR"/IXIsm3 pocheCBul ) complementareudApertoe = CHIUSOUNDiIlBulx0 AnIXè2) Agirn diVIAccumulazione perdo e intomo dodi : ,È7 A LIMITATONON3) EFrzl Verlim &nE]VI di# inhorme00In o C:: ..N+->k BuldSFFMO VI FIFlAnkMt AnEH 2 mi1 c. .linI 20+IXn1 =N+-3k (1n 0)(è detto Vi 21duSi =+che 0,00 Xi =1Anseosserve nnon> = ...,+ ..., ,,

Limiti di funzioni a valori reali

LIMITI DI FUNZIONI A VALORI REALI40E et8 IRVID IR MDEFINIZIONE -: ,lin (V)D fifix FIRdi C tintomoFIRe sediintmo =H: ,XoEIR" 3x03] nDCEIR fIXIEt Bglel/Bg(10)78c0 Xf- Esco -c =. .,, I ↓XokSoc(X - 1811-21cES Fir eEquivalente =per ,2 0Yo 0 == ,C linIfixel eIr -D=· ine Igil e=· /unicitàlimitideiproprietà particolare, segno )permanenzastesse in Thi Confrontevaleper il=1 ... ,/H XXEI-3x03)215x03 1gkMliminare ing(x)· fixiglin se=fi1 Xe1per -10· + fIxlin : diTEOREMA Daccumulazionese Xo21 perIR"D IRf -:Ilinfl : DE successione Ku e ein convergenef DIRIR" sufficienteaccumulazioneDota condizioned maOSSERVAZIONE di Necessariave? nonpercon: ,-e =eoffinché fixi SVAD per t ,tde exumulatorediXec= . So tEIR3nDtu1Retta/semiretiaA Perpassante XoSCELTA Vantaggiosa +: =: e VERSORE UNIONE INFINITAIR"8 IROSSERVAZIONE D Ddi> excumulazione= Xo: + per, ↓11 VaiAnvAzu retieaccumulazionevan aper fasciofinita diUnione cul semotivomado dicon... È VERIFICATO11 NOULIMITELa CONFRONTOTHfe Vilin ilinfiz e -che:

Funzioni continue

FUNZIONI CONTINUEIRD8 IR1) XoEDcontinue inDEFINIZIONE >: - lin :f(x0di Daccumulazioneisololo se =se do soppur per =e,2) 8 D & EXEDinContinue Continuea)IR"G -IR alloraTEOREMA Continua: ,EX1f(x1003A =: 31/g1x103B Apertisono=: (f(x) 03[X +c == 0331 181112a1) :Osservazioni = EX1f(x1503CB CHIUSI= EXec 03(f(x) == 03 G(2B)[x1f(x) 2 (CC)0((A)>CGA B2) a = =: == == no3) DISEGUAGLIANZESTRETTEdefiniti APERTISONOInsiemi DISEQUAZIONIda finito di Eun Nodefiniti ArbitrarioINSIEMi da carghedisequazioni sonoEquazioniun di e chiusiACIR" COMPATTODEFINIZIONE CHIUSO LIMITATOeS: AcBule)AIR" AEIRCimitolo limitatoIlso t TAes ↓ se en 1:c =. . IMc0 XXEAt IxicMcc)AdBulXo) ..5xoEIRVJMso t)( = c .., ↓A HA ESTREMO SUP INFa,EXnIna13IR"IR" èEXn] Limitatainconvergenteproposizione Limitatosuccessione = ovvero,IR"ID8 &D MaxIR ContinueFOREMA HaWElERSTRASSDI assoluticomposto min d-- =>- a in: ,SFXM f((m)[f(x) moxf(x) f(x)t VXED ESIS eovvers miIm C )=. ., ,f(xM) f(x) XXED: 17mox(f(x)/XED]

Curve

&IRCURVE IRhDonaDEFINIZIONE IRID1) 1 -: (re(t)tit (t)),((t) ..., r= :Edi linto definisce limitiin enolageD ai iilaccumulazione monieraMITEsipere ,hadi successioni quindisi. Elin =· d(((t) 2)= ,Ein EWilteli en)Viet (21zon↳ =n , ...,...tt +linlin Il eV :· =2) e limto to accumulazioneEdto isolato die Dcontinua se (t)Ultdin↓ oppure peris =, t 1 to+continueVie to Fiin 1,1) n= ...INTERVALLO GENERALIZZATO↓3) IR"/PARAMETRIZIATA) e IRzIIR"Curva continua I+In F :Una sut Parametro CURVAdella=· PARAMETRIZZAZIONE CURVADELLA· = -(t)3SXER"/FtE] t-D (2)sostEGNO della Itcurvat .immagineDella ccurve =:: =· .DEIR" VXè yEDConnessoDEFINIZIONE curvaESISTE dse in 2Estremidi Y YUna :ovvero, ,IR"7) S[e b] tcontinue+ Nel X: =c, .. r(b) 4= L'immagine di insiemeNOTA un:VtE(e IrIIDb]CHIED wD↓ tromite, compostoconnesso/funzione ècontinua unCONNESSO/INSIEME COMPATIOi IRdiconnessi (GENERALIZZATISTutil IntervalliSono E GliSolin 1=· 43311-t)11tE50TVX [Eyè [1il eyeD 4)D di estremiconvesso Xese segmento ? +=:· . ,.D) E Puòcontenuto Din EssereCONVESSO ConnessoMa>= MA NON CONVESSO/MYeD-IRfZERI/DIDEGLI DBOLZANO SieTEOREMA Continue Connesso:: , f(z)JEeDfixigigio[D t5x Ese =, o=c c ... . " SEGNO oppostofSieTEOREMA /RVIDAIR DVALORI INTERMEDIDEL Connesso: , exfcoinf(g(41) sup(f(x1) EXEDYeEIR efixitt e wc)< =<c. = . .. XEDXED ↓ ↓03 VIREE 03vIR[C- +IR"f IRgeneraleOSSERVAZIONE in continuaD-?sie :,Ed/gi)03 Sva condisgiuntaunione Convegnoi= i fosse teorma dicosì ilpernonsecostante d avrebbefi1)Bolzono /Assurdozerouno

Funzioni a valori vettoriali

FUNZIONI A VALORI VETTORIALIIRh8 IR" D=: >- (f 8m'A1)H8'1 IRD IRgi volori Scri* +1) con. a= :. ., . .11 Hf1 (x):(X Xu), ...,, Em1) glin :=DEFINIZIONE accumulazione econ e pero GIEV &(DnU15403)XED15103VVi intorno di =VJUi? tinnomo di maXo =1) : c ..CEIR"I If =li=linfil VieCin ,01= ==2 lin If= 0 ) E & di Vifontinua pers fi2) accumulazioneXOEDin Xoe isolor incontinua 1,Xooppureyo del = m...,linSigS fid)4 compattoCOMPATIO =IRD-Irm8 ollorecontinuaTEOREMA : , fidLD CONNESSOCONNESSO =IRVID-IR& alloraOSSERVAZIONE 1 continue)M := = :: ,fid) ir ingfayiSupfici7a Chiuso ACCUMULAZIONEcompattod dicompatto Limitatoe )l= ovvero = ,, GIDSPERED* XED& poiché81X1 inf f(x) accumulazionediCHIUSO Contiene e,d)( oresup>= ,D* CE EXmED f(xm)t inff(x) 8(1