Ripasso Geometria Analitica

Ripasso di geometria analitica

Equazioni polinomiali di 1^o grado

Nel piano

ax + by + c = 0, a, b ≠ (0,0)
Se b ≠ 0 → y = mx + q (equazione della retta)

Nello spazio

Π = ax + by + cz + d = 0 con a, b, c ≠ (0,0,0)

Determinazione del piano P₀

Come determino il piano P₀ = (x₀, y₀, z₀) e ⊥ al vettore v = (v₁, v₂, v₃)?
Se P = (x, y, z) e P - P₀ = (x-x₀, y-y₀, z-z₀)
P - P₀ ⊥ v ↔ (P - P₀) • v = 0
(x-x₀)v₁ + (y-y₀)v₂ + (z-z₀)v₃

Se non abbiamo il vettore perpendicolare

Piano per P₀ = (x₀, y₀, z₀) e ∥ ai vettori V = (v₁, v₂, v₃) e W = (w₁, w₂, w₃)

Piano per P₀ = (x₀, y₀, z₀) e // ai vettori V = (v₁, v₂, v₃) e W = (w₁, w₂, w₃): → (P - P₀) • (V ∧ W) = 0

| x-x₀ y-y₀ z-z₀ | | v₁ v₂ v₃ | = 0 | w₁ w₂ w₃ |

Prodotto Misto
Ricorda! Come fare prodotto esterno:     i   j   k V ∧ W = | v₁ v₂ v₃ | | w₁ w₂ w₃ | = | (v₂w₃ - v₃w₂)i - (v₁w₃ - v₃w₁)j + (v₁w₂ - v₂w₁)k |

Retta nello spazio

Retta data dall'intersezione di due piani:
   a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0
   a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

Rappresentazione parametrica

Ad esempio: moto rettilineo uniforme di un punto P che si muove lungo la retta r con V costante e all'istante t₀ si trova in P₀:
p = p₀ + t.v
| x = x₀ + t v₁ | | y = y₀ + t v₂ | | z = z₀ + t v₃ |

Esempio

x = {x = 2 - t, y = 2, z = t, P₀ = (1,2,0), V = (-1,0,1)}

Equazioni polinomiali di 2^o grado

Circonferenza nel piano

Circonferenza C di centro (x₀, y₀) e raggio r > 0
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²
x² + y² - 2x₀x - 2y₀y + x₀² + y₀² - r² = 0
x² + y² - 2x₀x - 2y₀y + γ = 0

Nello spazio: sfera

Sfera di centro C = (x₀, y₀, z₀) e raggio r > 0
(x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = r²
x² + y² + z² - 2x₀x - 2y₀y - 2z₀z + γ

Esercizi

1. Scrivere l'equazione della semicirconferenza riportata in figura
   Circonferenza di centro O = (0,0) e r = 2
   → (x-x_o)² + (y-y_o)² = 4
   → y² = 4-x²
   → y = ± √(4 - x²)
   Scelgo la semicirconferenza con ordinate positive, perciò y = + √(4-x²)
2. Che equazione ha la semisfera seguente?
   C ≡ (0,0,0) r = 3
   → x² + y² + z² = 9
   Scelgo le y ≥ 0
   → y² = 9 - x² - z²
   y = ± √(9 - x² - z²)
   La nostra semisfera ha equazione y = - √(9 - x² - z²)
3. Che equazione ha la sfera:
   C ≡ (0,2,2)
   x=1
   x² + (y-2)² + (z-2)² = 1
   Vuoto z=2
   (z-2)² = 1-x²-(y-2)²
   z-2=±√1-x²-(y-2)²
   L'equazione della mia semisfera è z=-√1-x²-(y-2)²-2

Ellisse

Nel piano: ellisse di semiassi a>0, b>0
eq: x²/a² + y²/b² = 1

Nello spazio: ellissoide di semiassi a>0, b>0, c>0
eq: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

Parabola

y = ax²+bx+c
V_(vertice) = (-b/2a, -Δ/4a)
asse // asse y
x = ay² + by + c
V_(vertice) = (-Δ/4a, -b/2a)

Iperbole

x² / a² - y² / b² = 1 (interseca asse x)
x² / a² - y² / b² = -1 (interseca asse y)
eq. asintoti: y = ± b/a x
Iperbole riferita agli assi: x · y = k con k ≠ 0

Paraboloide ellittico

z / c = x² / a² + y² / b²
(Questo ha asse di simmetria z, ma può essere anche x o y)
Le tracce orizzontali sono ellissi.
Le tracce verticali sono parabole.

Paraboloide iperbolico

z / c = x² / a² - y² / b²
Le tracce orizzontali sono ellissi.
Le tracce verticali sono iperboli.

Iperboloide a una falda

x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1
L'asse di simmetria è l'asse z.
Le tracce orizzontali sono ellissi.
Le tracce verticali sono iperboli.

Iperboloide a due falde

x² / a² + y² / b² - z² / c² = -1
↔ z² / c² = x² / a² + y² / b² = 1
Le tracce orizzontali sono ellissi.
Le tracce verticali sono iperboli.

Cilindro

Ogni volta che un'equazione polinomiale di 2^o grado nello spazio non dipende da una delle 3 variabili ho un cilindro con generatrici parallele all'asse rappresentato dalla variabile che manca.
Esempio: x² + y² = 1
Manca z, dunque avrò le generatrici // all'asse z.
x² / 4 = z² / 1
Manca y, generatrice // a y

Cono

z² / c² = x² / a² + y² / b²
Cono con asse l'asse z e vertice nell'origine
Tracce orizzontali: ellissi
Tracce verticali: iperboli
Idem altri assi:
x² / a² = y² / b² + z² / c²
1 / b² = x² / a² + z² / c²

Caso con V ≠ (0,0,0) ma V = (x₀, y₀, z₀):
→ (z - z₀)² / c² = (x - x₀)² / a² + (y - y₀)² / b²