Riassunto Geometria affine e proiettiva

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Author: el_ces_94

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Riassunto Geometria affine e proiettiva basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del professore Guerra, dell’università degli Studi di Perugia - Unipg, …

Esame Geometria III

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Guerra Lucio

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2014-2015

52 pagine

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Ripasso di geometria affine

Definizione di spazio affine

Def: Uno spazio affine sul campo K costruito su uno spazio vettoriale V su K è dato da:

A ≠ ∅ insieme

α: A × A → V applicazione con le seguenti proprietà:

∀ P ∈ A ∀ v ∈ V ∃! Q ∈ A t.c. −−→PQ = v
∀ P, Q, R ∈ A si ha −−→PQ + −−→QR = −−→PR (regola del parallelogrammo)

Def: A spazio affine su V

dim(A) := dim(V)

Oss: La retta, il piano e lo spazio ordinario sono spazi affini sul campo R, con dimensione 1, 2 e 3.

Vettori geometrici

La geometria si fonda sui vettori geometrici (o lettere) definiti come classi di equivalenza di segmenti orientati. Quindi ogni vettore applicato di un vettore si dirà rappresentante di quel vettore considerato.

V spazio vettoriale su K

Considero α: V × V → V

(n, t) → n − t

Quindi ogni spazio vettoriale V si può considerare spazio affine su se stesso e si denota con A(V) o V_a.

Se V = k^m

A(V) = A(k^m) = A^m(k) con dim(A) = dim(k^m) = m

Sottospazio affine

Def: A spazio affine su K costruito su V

S ⊆ A, Q ∈ S, W ⊆ V

S si dice sottospazio affine ⇔ S = ∑ P ∈ A | Q ∈ W

Inoltre S con l'applicazione α_S×S → W è a sua volta spazio affine su K costruito su W.

Oss: In un sottospazio affine in quanti modi posso scegliere Q e V?

Il punto Q è arbitrario: basta che Q ∈ S.

La griglia W è univocamente determinata.

Ripasso di geometria affine

Definizione

Def: Uno spazio affine sul campo K costruito su uno spazio vettoriale V su K è dato da:

A ≠ ∅ insieme

α: A x A → V applicazione con le seguenti proprietà:

∀ P ∈ A ∀ v ∈ V ∃! Q ∈ A t.c. PQ = v
∀ P, Q, R ∈ A si ha PQ + QR = PR (regola del parallelogrammo)

Def: A spazio affine su V

dim(A) := dim(V)

Oss: La retta, il piano lo spazio ordinario sono spazi affini sul corpo ℝ con dimensione 1, 2 e 3.

La geometria si fonda sui "vettori geometrici" (o vettori) definiti come classi di equivalenza di segmenti orientati quindi ogni vettore applicato di un vettore si dirà rappresentante di quel vettore considerato.

V spazio vettoriale su K

Considero α: V x V → V

Definendo su V una struttura di spazio affine su se stesso.

Quindi ogni spazio vettoriale V si può considerare spazio affine su se stesso e si denota con A(V) o V_a.

Se: V = K^m

A(U):= A(K^m) ≅ A^m(K) con dim(A) = dim(K^m) = m

Def: A spazio affine su K costruito su V

S sottoinsieme di A, Q ∈ S, W_K

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