Appunti di Geometria Proiettiva

Geometria 2(a)

I( =( 1 -T= ":, spazio affine P,Q,R C APQ+QR = PR assiomi spazio affine A spazio affine A A V 1 P C A, C V Q tale che PQ=A≠ ..-0 ( Q): A V è biettiva dalla si deduce che, fissato P C A, posso costruire una corrispondenza biunivoca tra V e A 2 &Q PQ.

Comunque prendo uno spazio vettoriale, posso costruire uno spazio affine.

V è spazio affine su se stesso: VxV V( , ) :=- uve wsoverifichiamo che è spazio affine + =presi , , SzVWz W2OW1 =+ = + zw5zwoWZSW tale che =.

Comunque preso un vettore di V, C V, C V C V vv2 WZZW . == = ( + )prendiamo = + esistenza v5S wWZ wW W22 = +=sia CV tale che = = = unicità (scatta l’unicità)255o W202 22.

Quindi dato uno spazio vettoriale riesco sempre a costruire uno spazio affine affiancato a V fissato.

Spazi proiettivi

Aggiungi ai punti dello spazio affine, i punti della giacitura dello spazio affine.

V spazio vettoriale su K V≠<o > considero V\{o }presi , C V\{o } = C K tale che =UnSW w w v.

Relazione d’equivalenza

Riflessiva infatti = 1Sno v v·simmetrica se =Unw wwj== moltiplico a sinistra per 13 ==C K = %= 100Unw S,W wwj.

Transitiva se =SNW unzWnz= = 2Unw ( ) = ( ) dove C KW = vvM M M== 2wwz.

P(V) P(V) := V\{o }:= spazio proiettivo associato a V, l’insieme delle classi di equivalenza s lo spazio proiettivo associato al vettore nullo é per definizione l’insieme vuoto P(<o >) := notazione.

Spazio proiettivo P(V) C V\{o }W classe di equivalenza Iw !dim (P(V)) := dim V —1 dim (P(<o >)) := —1 V≠<o >.

Uno spazio proiettivo associato ad una retta vettoriale consiste in un solo punto, la classe di equivalenza è individuata da un solo vettore v.

Se prendo dimV=1 = V=< > = dim (P(V)) = dim (P(< >)) = 1–1=0 (sarà un solo punto)↳ vv infatti P(< >) = { } 1 sola classe di equivalenza 15/v.

Prendo C < > \ {o } = è un multiplo non nullo di di = = con C Kwv vW W v ma è un vettore generico quindi tutti i vettori non nulli sono in relazione con =v wwjW= esiste un’unica classe di equivalenza che è proprio quella individuata dal vettore =16 15!S %s.

Sottospazio proiettivo (≠<o >)

Dato P(V) spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale V V consideriamo W sottospazio vettoriale di V W<V We considero la classe di equivalenza rispetto alla relazione che abbiamo prendo un vettore C WW definito su tutto V, noto che questa classe di equivalenza è contenuta dentro W.

Insieme dei multipli non nulli di W= { C V\{o } : = } = { : C K } perché W è sottospazio vettoriale WIwv! ↓ CW W.

Per definizione è l’insieme dei vettori di V che sono in relazione con W.

Cambia qualcosa se considero questa classe di equivalenza, secondo la relazione che ho definito, su tutto V o se la guardo semplicemente sullo spazio W? No.

Perché se anche la considero su tutto V, i vettori equivalenti a quelli che sto prendendo devono trovarsi dentro W.

Quindi o costruisco ex novo a partire da W lo spazio proiettivo associato a W (P(W)) se costruivo su W la relazione ↳ o lo vedo come un sottoinsieme di quello che ho fatto su P(V) non cambia nulla che ho costruito su V la classe non cambiava.

Per questo motivo diciamo che P(W) è sottospazio proiettivo di P(V) perché eredita quello che sto facendo su P(V) ↳ quindi per sottospazio proiettivo si intende lo spazio proiettivo associato ad un sottospazio vettoriale di V.

Retta proiettiva se dim (P(V))=1 dimV=2.

Piano proiettivo dimV=3 se dim (P(V))=2.

Interpretazione geometrica degli spazi proiettivi

Lo spazio proiettivo si può anche definire come P(V) = {< > : C V \ {o } } l’insieme delle rette vettoriali s v.

Qual è la differenza? o C < > mentre o C 15v ↑ inoltre due rette vettoriali si intersecano sempre (hanno in comune almeno o ), mentre le classi no per def di classe di equivalenza.

Si può anche definire spazio proiettivo su V come l’insieme delle rette di uno spazio affine su V uscenti da un punto assegnato.

Considero A spazio affine su V (uno spazio affine su uno spazio vettoriale assegnato esiste sempre) ↳ sottospazio proiettivo di dim n—1.

Non prendo tutto lo spazio proiettivo P(V) ma tolgo i punti di un iperpiano proiettivo dove dim P(W) = dim P(V) —1.

P(V) \ P(W) iperpiano proiettivo ma in P(V) trovo sempre un iperpiano proiettivo? Sì, …, ,…, se V=< > W=< >en ener er 1.

Vedremo che i punti che si trovano in P(V) ma che non appartengono all’iperpiano sono in corrispondenza biunivoca con i punti sullo spazio affine che ha la stessa dim di P(V) appena tolgo da uno spazio proiettivo i punti di un P(V) \ P(W) A spazio affine su W iperpiano proiettivo, mi ritrovo a meno di una P(V) := ( P(V)\P(W) ) U P(W) corrispondenza biunivoca i punti di uno spazio affine.

Insieme delle classi unione disgiunta di equivalenza in termini di dimensione da un punto di vista proiettivo, come punti abbiamo sia i punti -se P(V) ha dimensione n =dello spazio affine che i vettori che si trovano nella giacitura dimV =n+1 = dimW =n.

Quindi lo spazio proiettivo comprende la giacitura del suo spazio affine (iperpiano).

Esempio

P(V) \ P(W) dim P(W) = dim P(V) —1 generica retta affine che considero A spazio affine su V e fisso un punto P C A passa per P.

Insieme delle rette dello spazio affine A 33 dico che P(V) P+< >I =I dove C V\{o } che escono dal punto P (rette affini) corrispondenza biunivoca.

A meno di questa corrispondenza biunivoca possiamo vedere lo spazio proiettivo su V come l’insieme delle rette affini di uno spazio affine su V uscenti da un punto assegnato.

Voglio dimostrare che sono in corrispondenza biunivoca prendo come giacitura la retta vettoriale costruisco la funzione che al punto di P(V) associa la retta per P: P+< >15/ 2 generata dal vettore che mi identifica la la funzione è ben posta? classe di equivalenza.

Sì perché dipende dalla classe e non dalla scelta del rappresentante infatti se cambio rappresentante e prendo , vettore che mi individua la Sì = = = , C K stessa classe di , questo significa che e sono in relazione tra di loro 151151vvSuv.

Quindi la retta generata da è uguale alla retta generata da perché sono multipli uno dell’altro P+< > P+< >=viSi vv.

È iniettiva? e vettori non nulli se rette uscenti dallo stesso punto sono uguali hanno necess. la stessa giacitura su( ) = ( ) = P+< > P+< > = < > = < > = ==f15'l == C K* = =f15 vvi vi 15'v 15s % %Sinv v.

(È) suriettiva? P+< > = ha senso considerare la classe individuata dal vettore perché essendo flus vvgeneratore della giacitura di una retta vettoriale deve essere vettore non nullo retta dello spazio affine A uscente da P.

Quindi P(V) { P+< > : C V \ {o } }v v.

Tutto questo per quanto riguarda P(V) che quindi è in corrispondenza biunivoca con tutte le rette affini uscenti da P.

Invece P(V) \ P(W) è in corrispondenza biunivoca sempre con le rette che escono da P togliendo però le rette per P che hanno giacitura che si trova sullo spazio W che sto considerando.

P(V) \ P(W) { P+< > : C W}v v.

Esempio in dim2 (retta proiettiva)

dim P(V) =1 dimV=2 (retta vettoriale).

Prendo W iperpiano di V dimV=2 = dimW=1 = W=< > , ≠oww e consideriamo P(V) \ P(W) P(V) \ P(< >)W.

Prendo A spazio affine su V dimV=2 = A piano affine fisso PC A i punti della retta proiettiva li posso vedere!Ftutta la retta proiettiva P(V) non è altro che l’insieme delle rette che escono da P come l’insieme delle rette di questo piano affine A che escono dal punto P assegnato.

Prendo un punto Q che non si trova nella retta passante per P con giacitura WQ C P+< e considero la retta per Q parallela alla retta P+< >> WW P·.P+< > Q+< > unica retta che si deve togliere per ottenere P(V) \ P(W).

Comunque prendo una retta di P(V) \ P(W) , questa interseca la retta Q+< > in un solo punto W perché in dimensione 2 se ho due iperpiani (rette) che non sono parallele allora si intersecano in un punto (in generale mutua posizione retta-iperpiano o sono paralleli o incidenti in un solo punto).

Quindi le rette del piano affine diverse da P+< > sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta Q+< >WW.

P(V) \ P(W) è in corrispondenza con punti di uno spazio affine della stessa dimensione (retta affine) dunque posso vedere lo spazio proiettivo come l’unione disgiunta tra i punti della retta affine ( ) e il punto proiettivo 2 individuato da W spazio proiettivo associato P(V) = U {[ ]} = P(< >) alla giacitura della retta 2 W W.

Retta proiettiva: punti di una retta affine a cui unisco lo spazio proiettivo associato alla giacitura della retta.

A sua volta se tolgo un iperpiano, le rette uscenti da questo punto i punti di uno spazio proiettivo li possiamo mettere in sono in corrispondenza biunivoca con i punti di uno spazio affine corrispondenza biunivoca con le rette uscenti da un punto.

Appena completo proiettivamente la retta affine, quindi appena la guardo da un punto di vista proiettivo, devo aggiungere un punto che è quello che tiene conto della direzione della retta.

Quindi geometricamente la retta proiettiva non è altro che una retta affine a cui aggiungo un punto che tiene conto della direzione della retta e che chiameremo punto improprio della retta.

Esempio in dim3 (A spazio di dimensione 3)

A spazio affine su V dimV=3 = dim P(V)=2 iperpiano P(V) \ P(W) dim (W)=2.

Abbiamo detto che geometricamente i punti di P(V) li posso vedere come l’insieme delle rette uscenti P+W da un punto P, quindi fissiamo un punto e consideriamo le rette uscenti da questo punto assegnato P.

Adesso vogliamo andare ancora oltre, ovvero alcune di queste rette le vogliamo vedere come punti di un piano e lo facciamo prendendo un punto Q che non appartiene al piano per P e avente giacitura WQ e consideriamo il piano affine Q+WQ C P+WQ+W appena prendo una retta per P che non appartiene a P+W, questa retta intersecherà il piano Q+W in un solo punto.

Le uniche rette uscenti da P che non intersecano il nostro piano sono solo quelle che si trovano proprio sul piano P+W, ovvero rette del tipo P+< > con CW e che indentifichiamo con P(W)WW.

Posso costruire una corrispondenza biunivoca tra tutte le altre rette e il piano Q+W P(V) \ P(W) Q+W.

Un piano proiettivo sono i punti di uno spazio affine (Q+W) a cui unisco P(W), cioè tutte le rette che si P(V) = (Q+W) U P(W) trovano sul piano P+W, ovvero tutte le classi di equivalenza individuate da vettori che si trovano su W.

Osservazione

Due rette parallele da un punto di vista proiettivo si intersecano in quello che chiamiamo punto all’infinito (è un punto che dà un punto di vista affine non vediamo).

Retta e piano completiamo proiettivamente: dim A =3 diventa U {[ ] : C W( )}i2 diventa U {[ ] : C W( )}.

Paralleli se // = W( ) W( ) = l’intersezione tra i due spazi proiettivi è ≠2π2[ -Il#.

Quindi da un punto di vista affine non si intersecano mentre da un punto di vista proiettivo l’intersezione è non vuota, e si intersecano in un solo punto perché W( ) ha dimensione 1 e quindi ho una sola classe di equivalenza al variare di Z2 nella giacitura di 2.

Rette sghembe in dim3 diventa U {[ ] : C W( )} completando con e generatori[ ] 2wi 2 w 2ww2 w2 diventa U {[ ] : C W( )} proiettivamente: delle giaciture di e[ ] wiz'wi2 2wi2 222 non si intersecano, infatti se per assurdo si intersecassero si avrebbe[ ]=[ ] = = = W( ) = W( ) = e dovrebbero essere parallele nel piano affine 3ww 2w 2 2 Zw ,.

Osservazione: è possibile anche partire da uno spazio affine di dimensione n e completare proiettivamente questo spazio affine aggiungendo opportuni punti.

Trasformazione affine

Dove V, V’ sono K spazi vettoriali A spazio affine su V (stesso campo K) A’ spazio affine su V’ (P) (Q) = (PQ):A A’ si dice trasformazione affine se C Hom(V,V’) tale che fff &- VA’A’ -- V’.

(Cioè se e solo se V e V’è biunivoca = è isomorfismo V’f & risultano isomorfi tra di loro):= omomorfismo associato ad f&.

Dimostrazione

A A’ trasformazione affine & : V V’ omomorfismo associato adI fgià sappiamo omomorfismo quindi dvc biunivocaY Y.

Iniettiva sia C V , C ker e facciamo vedere che è il vettore nullo (così il nucleo è banale) v -v &C ker = ( )=o opeago (PQ) =o = (P) (Q) = (P) = (Q) = P=Q = PQ = PP =o = = PQ =o, 7f ff j,C V = P,Q C A tali che PQ = iniettiva 2 assioma f2 assioma ottengo il vettore nullo solo quando punto iniziale = punto finale.

Suriettiva C V’ C V tale che ( ) = ?vi vyuv prendo un punto P’ C A’ = Q’ C A’ tale che P’Q’ = j&2 assioma (P) =P’le = = P’Q’ = (P) (Q) = (PQ) , = PQ ma suriettiva = P,Q C A tali che a ff)f v(Q) =Q’ CV.

Trasformazione affine f: V V’ isomorfismoYI iniettivaf presi P,Q C A tali che (P) = (Q) dvc P=Q iniettiva quindi nucleo banaleff Y >(P)= (Q) = (P) (Q) =o = (PQ) = PQ C ker = PQ =o = P=Qff fa Q Y&.

Suriettiva 2 assioma sia Q’ C A’ Q C A tale che (Q) = Q’?f (P)Q’ = ( ) = (PQ) = (P) (Q)f'y04ff considero P C A e il vettore (P)Q’ C V’-f CVf(P)Q’ = (P) (Q) = Q’= (Q)fff se i punti iniziali sono uguali e lo sono anche 2 assioma i vettori allora anche i punti finali sono uguali.

Isomorfismo affine

Una trasformazione affine :A A’ biunivoca (invertibile) si dice isomorfismo affine fdue spazi affini A e A’ si dicono isomorfi se : A A’ isomorfismo affinef.

A e A’ spazi affini di dimensione finita A = A’ = dimA = dimA’~.

Dimostrazione

Presi ( A, V) e ( A, V’)ImA = A’ = V = V’ = dimV = dimV’ = dim A = dim A’-per def di isomorfismo tra spazi affini.

Sia dim A = dim A’ =n possiamo costruire un isomorfismo nel seguente modo: fissiamo due riferimenti degli spazi affini R = (O, B) dove B={ ,…, } base di Veet R’ = (O, B’) dove B’={ ,…, } base di V’: V V’ spazi vettoriali della stessa dim& idieiien.

Costruiamo l’isomorfismo estendendo per linearità la funzione che associa l’i-esimo vettore della base di V fissata all”i—esimo vettore della base di V’ fissata stesse componenti.

A partire da questo isomorfismo tra spazi vettoriali posso costruire un isomorfismo tra spazi affini i vettori li ho trasportati, rimane da trasportare l’origine l’origine del sistema di riferimento.

Consideriamo quanto faccio con gli spazi vettoriali dove prendo le componenti: A A’f lo estendo agli spazi affini dove prendo le coordinate P = (x ,…, x ) (x ,…, x )1 1n n pR sono le stesse coordinate coordinate assegnate però rispetto al riferimento R’ rispetto al riferimento R trovo sempre un vettore che ha ma chi mi garantisce che un punto in A’ con tali coordinate? il 2 assioma degli spazi affini componenti x ,…, x , basta 1 n prendere il vettore x +…+x1es.

(Ricordiamoci che una volta fissate le coordinate il mio spazio affine lo posso porre n enin corrispondenza biunivoca con K dove n è la dimensione dello spazio affine).

Vogliamo fare vedere che è isomorfismo affine, ma già sappiamo che è isomorfismo quindi che è biunivoca, f fY quindi rimane da far vedere che è una trasformazione affinef.

Dimostrazione

Dimostriamo che è trasformazione affine con omomorfismo associato &(P) (Q) = (PQ)siano P,Q C A P=(x ,…,x ) Q=(y ,…,y ) dvc &ff1 n 1 nR R(P)=(x ,…,x ) per costruzione di hanno le stesse coordinate ma rispetto R’n fRI(Q)=(y ,…,y )1 Rn.

Allora quali sono le componenti del vettore (P) (Q) rispetto alla base fissata in R’? La differenza delle coordinate ffM (y —x )(P) (Q) =7 l'ii def dii Yi 1(PQ) = e(y —x ) (y —x )( =) (P) (Q)=&.

Affinità se : A A isomorfismo da uno spazio affine in se stesso , è detta affinità (di A)ff.

Coordinate omogenee

Vogliamo dare ai punti dello spazio proiettivo delle coordinate.

Sia P(V) spazio proiettivo dim P(V) =n = dim(V)=n+1 fissare un riferimento nello spazio proiettivo associato a V significa fissare una base dello spazio vettoriale V.

Quindi fissiamo un riferimento, ovvero base di V: B = { , ,…, }C1 enCoadesso possiamo assegnare ai p