Riassunto esame Elementi di matematica (integrali, matrici, sistemi lineari, funzioni a più variabili), prof. Ortobelli, libro consigliato Manuale modulare di metodi matematici, Allevi

Integrale indefinito

Definizione

L'integrale di una funzione f(x) è la funzione F(x)+C se e solo se la derivata di F(x)+C è la funzione f(x) ∫f(x) = F(x)+C ⟺ F'(x) = f(x)

Proprietà

1. ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx
2. ∫[f₁(x) + f₂(x)]dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx

Integrali immediati

1. ∫xⁿ dx = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + C
2. ∫ ¹/_x dx = ln|x| + C
3. ∫e^x dx = e^x + C
4. ∫a^x dx = ^ax/_loga + C

Esercizi

1. ∫(2x³−x²) dx

∫(4x⁴ − 4x³ + 1)dx = ∫4x⁴ dx − ∫4x³ dx + ∫1 dx 4·¹/₄₊₁ x⁴⁺¹ − 4·¹/₃₊₁ x³⁺¹ + ¹/₀₊₁ x^{0+1 4}/₅ x⁵ − x⁴ + x + C

2. ∫( ²/_x − 3e^x ) dx

2 ln|x| − 3e^x + C

Integrale indefinito

Definizione

L'integrale di una funzione f(x) è la funzione F(x)+c se e solo se la derivata di F(x)+c è la funzione f(x) ∫f(x)=F(x) + c ⟺ F'(x) = f(x)

Proprietà

1. ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx
2. ∫(f₁(x)+f₂(x))dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx

Integrali immediati

1. ∫xⁿdx = (1/(n+1)) xⁿ⁺¹ + c
2. ∫(1/x)dx = ln|x| + c
3. ∫e^xdx = e^x + c
4. ∫a^xdx = (a^x)/(log_a) + c

Esercizi

1. ∫(2x²-x²)dx
2. ∫(x/(2x²-3e^x))dx

3) ∫ ¹/_3x-2 dx derivata di 3x-2 è 3 => moltiplico (dentro all'integrale) e divido (fuori dall'integrale) per 3

1/3∫ ¹/_3x-2 ∙ 3 dx

1/3 ln |3x-2| +c

Il 3 dentro all'integrale posso non considerarlo più e risolvo utilizzando gli integrali immediati

4) ∫ e^2x dx derivata di 2x = 2

1/2∫ e^2x ∙ 2 dx

1/2 e^2x + c

5) ∫ x ∙ e^x2 dx derivata di x² = 2x => la x c'è già quindi moltiplico e divido solo per 2

1/2∫ (2x) ∙ e^x2 dx poiché 2x è proprio la derivata di x², posso non considerarlo più

1/2 e^x2 + c

6) ∫ ^x2/_{2x³ +1} dx derivata: 6x²

1/6∫ ^{6 x2}/_{2x³ +1} dx

1/6 ln |2x³ +1| + c

Integrazione per decomposizione

∫ -1/(x²-5x+6) dx Δ = 25-4(1)(6) = 1 > 0 posso scomporre il denominatore x²-5x+6 → (x-3)(x-2)

1/(x²-5x+6) = A/(x-3) + B/(x-2) = scompongo la funzione in due blocchi e risolvo

= A(x-2)+B(x-3)/((x-3)(x-2)) = Ax - 2A + Bx - 3B

{A + B = 0 -2A - 3B = 1 metto a sistema: lettere davanti alla x → pongo = 0 lettere senza x → pongo = al numeratore

{A = -B 2B - 3B = 1 {A = 1 B = -1 {B = 1 B = -1

∫ A/(x-3) + B/(x-2) dx = ∫ 1/(x-3) - 1/(x-2) dx = ln|x-2| - ln|x-3| + c

Integrazione per sostituzione

∫ √(4x+3) dx ▶︎ 4x+3 = t prendo questo che sta sotto la radice e pongo = t

▶︎ x = t/4 - 3/4 dt = 1/4 dx risolvo per x, moltiplicando per dt-dx = t(-3t+1).0.25/16 dt → faccio la derivata di x

∫ t .0.25 dt = sostituisco i valori nell'integrale

∫ t^3/4 dt = (1/4) ∫ t^3/4 dt = (1/4) t^3/4+1 = 3/16 t^7/4 + c

Integrazione per parti

∫ g(x) f'(x) x² logx dx devo decidere quale funzione integro e quale derivo

[x² logx = g(x)' = 1/x = f'(x)] = logx · x²/2 - ∫ x²/2 · 1/x² dx utilizzo la formula: f(x) · g(x) - ∫ f'(x) · g(x) dx

= logx · x²/2 - (1/2) ∫ x dx = log x · 1/2 x² - 1/2 x² + c = 1/2 x²(log x - 1/2) + c

Definizione

L'integrale definito in un certo intervallo [a,b], rappresenta l'area A compresa tra il grafico della funzione f(x), l'asse x e le due rette verticali x=a e x=b

Esercizio

1. ∫₁² x + 4 dx

Risolverò come se fosse un integrale indefinito

x + 4 = t

dx = dt-u = -2 – dt

dx = 1 / 2 (t-u) = 1 / 2 dt

Quando uso il metodo di sostituzione devo prima risagolare i valori tti con l'integrale

x = 4

u = 0+ ∫ √t

Aplico teorema fondamentale del calcolo integrale

3 / 4 √12 – 1 / 3 √3 == 3 / 4