Riassunto di ''Fondamenti di Automatica'', prof. Bittanti

Modelli

Scrittura matriciale di sist. din. lin.

Scrittura matriciale di sist. din. lin. →   Punto di equilibrio →   Caratteristica statica →   Linearizzazione →   con   sistema multivariabile   Movimento libero →   Movimento forzato →   Movimento di un sist. lin. →   Formula di Lagrange →   Tabella di Routh-Hurwitz →   Scrittura matriciale di sist. din. lin.

\(\dot{x} = Ax + Bu\)

\(y = Cx + Du\)

Punto di equilibrio

\(\dot{x} = 0\)

\(\bar{x} = -A^{-1}B\bar{u}\)

Caratteristica statica

\(\bar{q} = s(\bar{u})\)

Linearizzazione

\(\Delta\dot{x} = A\Delta x + B\Delta u\)

\(\Delta y = C\Delta x + D\Delta u\)

A = \(\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x=\bar{x}, u=\bar{u}}\)

B = \(\frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{x=\bar{x}, u=\bar{u}}\)

C = \(\frac{\partial g}{\partial x}\Big|_{x=\bar{x}, u=\bar{u}}\)

D = \(\frac{\partial g}{\partial u}\Big|_{x=\bar{x}, u=\bar{u}}\)

Sistema multivariabile

\(\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2, u_1, u_2)\)

\(\dot{x}_2 = f_2(x_1, x_2, u_1, u_2)\)

A = \(\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} \end{bmatrix}\)

B = \(\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial u_1}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} & \frac{\partial f_1}{\partial u_2}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u_1}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} & \frac{\partial f_2}{\partial u_2}\Big|_{\bar{x}, \bar{u}} \end{bmatrix}\)

Movimento libero

\(x_L(t) = \varphi(X(t_0), 0)\)

\(x_L(t) = e^{A(t-t_0)} x(t_0)\)

Movimento forzato

\(x_F(t) = \varphi(0, u(\cdot)^t_{t_0})\)

\(x_F(t) = \int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) d\tau\)

Movimento di un sist. lin.

\(x(t) = x_F(t) + x_L(t)\)

Formula di Lagrange

\(x(t) = e^{A(t-t_0)} x(t_0) + \int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau\)

Tabella di Routh-Hurwitz

\[\begin{bmatrix}\alpha_0 & \alpha_2 & \alpha_4 & \text{ } \\\alpha_1 & \alpha_3 & \alpha_5 & \text{ } \\k_1 & k_2 & \text{ } & \text{ } \\\end{bmatrix}\quad (M+1)\text{righe}\]

\(h_2 = -\frac{1}{\alpha_1} \det \begin{bmatrix} \alpha_0 & \alpha_2 \\ \alpha_1 & \alpha_3 \end{bmatrix}\)

\(h_2 = -\frac{1}{\alpha_1} \det \begin{bmatrix} \alpha_0 & \alpha_2 \\ \alpha_1 & \alpha_3 \end{bmatrix} \cdots\)

\(k_1 = -\frac{1}{h_1} \det \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_3 \\ h_1 & h_2 \end{bmatrix}\)

\(k_2 = -\frac{1}{h_2} \det \begin{bmatrix} h_1 & h_2 \\ k_1 & k_2 \end{bmatrix}\)

Segnali e trasformate

Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace

F(s) = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt

Impulso → imp_ε(t) = lim_ε→0 f_ε(t) con f_ε(t) =1/ε 0 ≤ t ≤ ε 0 altrove

Trasformata dell'impulso

F(s) = 1

Scalino → sca(t) = 0 t ≤ 0 1 t > 0

Trasformata dello scalino

F(s) = 1/s

Rampa → ramp(t) = t t > 0 0 t ≤ 0

Trasformata della rampa

F(s) = 1/s²

Parabola → par(t) = t²/2 t ≥ 0 0 t L{ t^-at cosα(t) } = 1/(s+a)²

Trasformata della parabola

F(s) = 1/s³

Trasformata del coseno

F(s) = s/(s² + ω²)

Trasformata del seno

F(s) = ω/(s² + ω²)

Proprietà

Linearità → f(t) = α₁f₁(t) + α₂f₂(t) → L{f(t)} = α₁L{f₁(t)} + α₂L{f₂(t)}

Traslazione nel dominio s → L{e^atf(t)} = F(s-a)

sca(t) → F(s) = 1/s-a (esponenza.)

Derivazione nel dominio s → t ➜ f(t) → df(s)/ds

Derivazione nel dominio del t → [f(t)] = sF(s) − f(0)

Teorema del valore iniziale → f(0⁺) = lim_{s → ∞} sF(s)

Teorema del valore finale → f(∞) = lim_{s → 0} sF(s)

Pendenza iniziale → \(\frac{dF(t)}{dt}\)\_t=0⁺ = g(t)\_t=0⁺ = lim_{s → ∞} sG(s)

Trasformata della derivata → [f'(t)] = sF(s) − f(0)

Sistemi e trasformate

Funzione di trasferimento

Funzione di trasferimento → G(s) = \(\frac{Y(s)}{U(s)}\)_x(0)=0

Guadagno → μ = -CA^-1B + D μ = G(s)\_s=0

Schemi a blocchi e sist. interconnessi

Ftft per sistemi a cascata → G(s) = G₁(s) G₂(s)

Modello a var. di stato → \(\dot{x}\) = Ax + Bu

A=[^{A₁ 0}] p>

B=[^{B₁ B₂}]

y = Cx + Du

C=[^{D₂ C₂}] D=[^D₁D₂]

Ftft per sistemi in parallelo → G(s) = G₁(s) + G₂(s)

Ftft per sistemi in retroazione → G(s) = \(\frac{G_{1}(s)}{1 + G_{1}(s)G_{2}(s)}\)

Risposte dei sistemi lineari

Pulsazione naturale → ω_n = √α² + ω²

Smorzamento → ξ = ^ω/_{√α² + ω²} = cosφ

Oscillazione di fondo → ω̅ = √1 - ξ² ω_m

Risposta in frequenza

h. della risposta in freq. → con u(t) = U sin(ωt + α) no autom. in jω

y(t) = Y sin(ωt + β)

Y = |G(jω)| U

β = α + φ

φ = arg G(jω)

Risposta armonica → con u(t) = U₁ sin(ω₁t + α₁)+ U₂ sin(ω₂t + α₂)

Rappresentazione

Diagrammi polari

Diagrammi polari → | G(s) | _s=jω, per ω da 0 a +∞

• Calcolare |G(jω)|
• |G(jω)|_ω=0
• |G(jω)|_ω=∞
• Osservare andamento qualitativo
• Vedere la fase

Diagrammi di Nyquist

Diagrammi di Nyquist → | G(s) | _s=jω, per ω da -∞ a +∞

Ribaltare diagramma polare e unire

Diagramma di Bode del modulo

In ascissa: x = Δ log₁₀ω

In ordinata: | G(jω) |_dB = 20 log₁₀| G(jω) |

1. A basse pulsazioni il diagramma è costante all'ordinata μ_dB = 20 log₁₀|Λ|
2. Ad ogni pulso di taglio associata ad uno zero la linea del diagramma aumenta la propria pendenza di un valore 20ξ/decade, dove ξ è la molteplicità dello zero;
3. Ad ogni pulso di taglio associato ad un polo la pendenza diminuisce di un valore di 20 dB/decade, dove η è la molteplicità del polo.

Con poli e zeri nell'origine:

1. A basse pulsazioni il diagramma è una retta passante per il pto μ_dB all'ordinata ω=1 con pendenza -κ 20 dB/decade se vi sono κ poli nell'origine. Se vi sono κ zeri nell'origine ha pendenza +κ20 dB/d

Diagramma di Bode della fase

In ascissa: vedi modulo

In ordinata: ^G(ω) al variare di ω da 0 a ∞

N.B. Segno delle costanti di tempo!

1. A basse pulsazioni il diagramma è costante e vale 0 se μ > 0, oppure −180^° se μ zero nel semipiano dx → sale di 90^°, n multipli dello zero;
2. Zero nel semipiano sx → scende di 90^°, " " " ;
3. Polo nel semipiano dx → scende di 90^°, n multipli dello polo;
4. Polo nel semipiano sx → sale di 90^°, " " " ;

Con poli e zeri nell'origine:

1. A basse pulsazioni: K poli nell'o: segue il diagramma è costante e vale −k90^° se μ > 0, oppure 180°-k90^° se μ k zeri nell'origine il diag. sale +k90^° se μ > 0, oppure 180°+k90^° se μ

Fit con β > 0 e poli/zeri nel semipiano dx:

Dal modulo → alla fase

Diag. del modulo decresce di Kj0 dB/decade → la fase ha una variat. di −k90^°

Diag. del modulo sale di Kj0 dB/decade → la fase ha una variat. di k90^°

Controllo automatico

Sistemi di controllo retroazionati lineari

Sistemi di controllo retroazionati lineari → fdt da y₄ a y → F(s) = ^L(s)/_{1 + L(s)}

→ fdt da y₀ e y₄ a e (con segno camb.) → T(s) = ^-1/_{1 + L(s)}

→ fdt da y₄ a u → S(s) = ^R(s)/_{1 + L(s)}

→ fdt da u, d_u a y → W(s) = ^G(s)/_{1 + L(s)}

Regola: F(s) completa = fdt anello 1 +/- fdt anello, L_- ⊕ retroaz. negativa (segni ♂ dispari) L₊ ⊕ retroaz. positiva (segni ♂ pari)

Stabilità

Margine di fase → Φ_H = 180° - |Φ_Gc|

Sistemi digitali

Trasformata Zeta

Trasformata Zeta → F(z) = f(0) + f(1)⋅z^-1 + f(2)⋅z^-2 + ...

Impulso → f(t) = 1 & t = 0 0 & t ≠ 0 Trasformata dell'impulso → F(z) = 1

Scalino → sca(t) = 1 & t ≥ 0 0 & t < 0 Trasformata dello scalino → F(z) = z / z - 1

Esponenziale → f(t) = a^t & t > 0 0 & t ≤ 0 Trasformata dell'esponenziale → F(z) = z / z - α

Trasformata del coseno → F(z) = -1 - z²cos(ω) / 1 - 2z^-1cos(ω) + z^-2

Rampa → f(t) = t & t ≥ 0 0 & t Trasformata della rampa → F(z) = z / (z - 1)²

Trasformata del seno → F(z) = z^-1sin(ω) / 1 - 2z^-1cos(ω) + z^-2

Proprietà

Linearità → f(t) = α₁f₁(t) + α₂f₂(t) → Z[f(t)] = α₁Z[f₁(t)] + α₂Z[f₂(t)]

Contrazione in Zeta → Z〈a^tf(t)〉 = F(a^-1z)

Derivata in Zeta → Z〈t f(t)〉 = -zd / dz F(z)

z^k operatore di anticipo unitario

Z{f(t+k)} = z^k[Z{f(t)} - f(0)]

Sistemi e trasformate

Forma standard

x(t+1) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Movimento libero

u(t) = 0

x_L(t) = A^t-t₀ x(t₀)

y_L(t) = C A^t-t₀ x(t₀)

Formula di Lagrange su t. discreto

X(t) = X_L(t) + X_F(t) -> x(t) = A^t-t₀ x(t₀) + ∑_k=0^t-t₀-1 A^k B u(t-k)

y(t) = CA^t-t₀ x(t₀) + ∑_s=0^t-t₀-1 CA^s B u(t-k) + D u(t)

Punto di equilibrio

X̄ = (I - A)^-1 Bū ȳ = C(I - A)^-1 Bū + Dū

Guadagno

μ μ = C(I - A)^-1B + D -> μ = G(z) |_z=1

Funzione di trasferim. Zeta

G(z) = Y(z) / U(z) = C(z I - A)^-1 B + D

Stabilità

Autovalori di A hanno modulo

Risposta in frequenza

Teorema della risposta in freq -> sistema stabile

Con u(t) = U sin(ωt + α)

u(t) -> y(t) = Y sin(ωt + β)

Con Y = U |G(e^jω)|

β = α + φ

φ = ∠G(e^jω)

Teorema del valore iniziale

f(0) = lim_{z -> ∞} F(z)

Teorema del valore finale

f(∞) = lim_{z -> 1} (1 - z^-1) F(z)