Fisica 1 - Riassunto esame, prof. Lanzani

Cinematica del punto

v_m = Δx/Δt   v_i = dx/dt   [m/s]

Spazio percorso

x(t) = x₀ + ∫_t0 v(t) dt

Moto rettilineo uniforme

x(t) = x_c + vt

Accelerazione

a = dv/dt = d²x/dt²   [m/s²]

v(t) = v₀ + ∫_t0 a(t) dt

Moto rettilineo uniformemente accelerato

v(t) = v₀ + at

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v² = v₀² + 2a(x - x₀)

Moto armonico semplice

x(t) = A cos (ωt + φ)

T = 2π/ω   ω = 2π/T   f = 1/T = ω/2π

v(t) = -ωA sin (ωt + φ)

a(t) = -ω²A cos (ωt + φ) = -ω²x

Moto circolare

Velocità angolare:   ω = dθ/dt = v/r

• Moto circolare uniforme v è una costante

S(t) = S₀ + vt

θ(t) = θ₀ + ωt

a = a_n = v²/r = ω²R

T = 2πR/v = 2π/ω

L = Δv

Cinematica del punto

v_m = Δx / Δt, v_i = dx / dt [m/s]

Spazio percorso

x(t) = x_o + ∫_to v(t) dt

Moto rettilineo uniforme

v costante

x(t) = x_o + vt

Accelerazione

a = dv / dt = d²x / dt² [m/s²]

v(t) = v_o + ∫_to a(t) dt

Moto rettilineo uniformemente accelerato

v(t) = v_o + at

x(t) = x_o + v_ot + 1/2 at²

v² = v_o² + 2a(x - x_o)

Moto armonico semplice

x(t) = A cos (ωt + Φ)

T = 2π / ω, ω = 2π / T, f = 1 / T = ω / 2π

v(t) = -ωA sin(ωt + Φ)

a(t) = -ω²A cos(ωt + Φ) = -ω²x

Moto circolare

Velocità angolare: ω = dθ / dt = v / r

Moto circolare uniforme: v = costante

S(t) = S_o + vt

θ(t) = θ_o + ωt

T = 2πr / v = 2π / ω

a = a_n = v² / r = ω²R

Moto circolare non uniforme

(2) Non uniforme

a_t = \(\frac{dv}{dt}\)

\(\alpha = \frac{a_t}{R}\)

\(\alpha = \frac{1}{2} \omega^2 - \frac{1}{2} \omega_0^2\)

Moto uniformemente accelerato

(3) Moto uniformemente accelerato

\(\omega = \omega_0 + \alpha t\)

\(\Theta = \Theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2\)

a_n = \omega²R = (\omega_x + \alpha t)² R

a = \(\sqrt{a_t^2 + a_n^2}\)

Moto parabolico

Asse x - Moto uniforme

Asse y - Uniformemente accelerato

v_x = v₀ \(\cos \Theta\)

v_y = v₀ \(\sin \Theta - gt\)

x = x₀ + v_0x t = x₀ + v₀ \cos \Theta t

y = y₀ + v_0y t - \(\frac{1}{2} gt^2 = y_0 + v_0 \sin \Theta t - \frac{1}{2} gt^2\)

\(X_G = \frac{2v_0^2 \cos \Theta \sin \Theta}{g} = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\Theta)\)

Traiettoria parabolica

y = h - \(\frac{g}{2v_0^2} x^2\)

Punto di attacco

x = v₀ \(\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Altezza massima

\(y_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \Theta}{2g}\)

Dinamica del punto

• Principio d’inerzia

Un corpo non soggetto a forze resta in uno stato di quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.

No forze → la velocità non varia.

Legge di Newton: F = ma

L’interazione del punto con l’ambiente (F) determina l’accelerazione del punto.

Le forze vanno in coppia, principio di azione e reazione → uguali e contrarie

F_{A, B} = −F_{B, A}

Quantità di moto

P = m v

F = ^dp/_dt (anche se la massa non è costante)

Impulso

Th. dell’impulso: L’impulso di una forza applicata ad un punto materiale provoca la variazione della sua quantità di moto.

I = Δp

I = m Δv

I = ^FmΔT = Δp

F = ^Δp/_T, se F = 0, Δp = 0.

p = costante

"In assenza di forze applicate la quantità di moto si conserva, rimane costante."

Reazione vincolare (N)

La normale è contraria alla forza

R + N = 0

Se N = 0, si annulla per diventare una forza attrattiva, la distacco del corpo dalla superficie.

Moto rettilineo uniforme

V = cost, a = 0

F = 0

Uniformemente accelerato

a = cost

F = cost

Moto vario

F = variabile

F = ma₁ + maₙ

Forza peso

P = mg

Massa → significato dinamico, indipendente dalla forza agente

Forza peso → interazione del corpo con la terra

Oss. sensazione di peso

N + P = ma

N + mg = ma

N = m (a - g)

• A discordo da g
• N > mg, aumento di peso
• A concorde a g, funivia in rotta
• N a = g ⇒ N = 0
• No sensazione di peso
• A concorde a g, maggiore in rotta → distacco dalla piattaforma

Forze di attrito radente

Movimento → F > μ_sN

Condizione d'appoggio: N > 0, P > Fsenθ

Condizione di quiete: F ≤ μ_sm₀g / cosθ + μ_ssenθ

Quando F > μ_sN → movimento

Forza d'attrito radente dinamica

F_ad = μ_d N

μ_d s

Piano inclinato

P ₀ cosθ - μ_d N = ma

Condizione d'equilibrio statico: P cosθ ≤ μ_s

Forza elastica

F = -kΔx

K = costante elastica

a = F/m = -K/m Δx = -ω²Δx   ω = pulsazione

ω = √K/m

T = 2π/ω = 2π√m/k

Moto armonico, con molla bloccata:

x = A cos (ωt + φ)

x = x₀ cos ωt

V = -ωx₀ sen ωt

Pendolo semplice

Equilibrio statico: posizione verticale T = mgR

T = -mg senθ = ma_t

RN = T - mg cosθ = ma_N

a_T = L ^d2θ/_dt²

a_N = v²/L

Per piccole oscillazioni:

d²θ/dt² + g/L θ = 0

Θ = Θ₀ sen(ωt + φ)

T = 2π/ω = 2π √(L/g)

S = CΘ = LΘ₀ sen(ωt + φ)

Angolare = dΘ/dt = ωΘ₀ cos(ωt + φ)

Lineare = ds/dt = L dΘ/dt = L ωΘ₀ cos(ωt + φ)

Oss: La velocità è massima nel verticale (θ = 0) e nulla negli estremi (θ = Θ₀)

Oss: La tensione è massima nel verticale

Forza di rotazione (cosθ = max; V_T = max) e minima nei punti d'inversione.

Tensione dei fili

Il tuo peso esercitato dagli estremi è tensione, che dipende dalle forze applicate e non dalla forza che lo flette.

Bacchetta/Filo:

• Il filo funziona in trazione, il bacchetto sia in trazione che in compressione
• La bacchetta può sopportare anche sollecitazioni ortogonali

Lavoro, potenza, energia cinetica

Lavoro

Lavoro della forza F:

W = ∫_s0^s1F • ds

Il lavoro è l'integrale lineare della forza

Lo è dato da infiniti, contributi infinitesimi:

dw = F • ds = Ft • ds

3 casi:

• θ tra F e ds è minore di π/2, l'oggetto è concorde alla v e la va a aumentare
• Ld dw > 0, lavoro motore.
• θ tra F e ds maggiore di π/2, viene frenato
• Ld dw F • ds, θ = π/2
• Ld dw = 0

F ho azione solo centripeta e non fa variare la velocità.

Vf > Vi, se θ Vf π/2

Vf = Vi, se θ = π/2 V = F • s = Fs cosθ

"Il lavoro è pari all'area dei valori delle singole forze agenti; ciascuna di esse può essere positiva, negativa o nulla."

Potenza

Ld = lavoro per unità di tempo

P = dW/dt = Ft • v

Pm = Wt/Δt

Energia cinetica

W = ΔGk

Gk = ½mv² - Energia cinetica

Se W>0, Gkf > Gki

Se W