Riassunto del corso analisi 2

Analisi II

• Curve Parametriche

Data la curva r(t) la parametrizzazione sarà:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k in R³s(t) = x(t)i + y(t)j in R²

• Curve Cartesiane

Data f: [a, b] → R "Simile a y = f(x)" si avrà:

1. Scegliere il parametro
2. Scrivo la β [a, b] in forma Parametrica

• Cambio di Parametro

Data r(t) = Cos(t)Λ + Sen(t)Σ t ∈ [0, 2π]1. Cambio il parametro (con qualcosa di semplice)Es. t: = 2πμ2. Calcolo:(I) μ: = t/2π(II) t ∈ [0, 2π] → μ ∈ [0/2π, 2π/2π] = [0,1]3. Riscrivo r(μ) = Cos(2πμ)Λ + Sen(2πμ)Σ

Per il CAMBIO di PARAMETRO si possono avere:I: curve crescentiII: " decrescenti "

Analisi II

• Curve Parametriche

Data la curva r(t) la parametrizzazione sarà:

r(t) = ( x(t) ) i + ( y(t) ) j + ( z(t) ) k in R³

\[ \] = ( x(t) ) i + ( y(t) ) j in R² {( z(t) ) 0}

• Curve Cartesiane

Data f : \[ \] [a, b] -> R "Simile a y = f(x)" si avrà:

1. Scegliere il parametroChiamo una parte della p(x)
2. Scrivo la [a, b] in forma parametrica

\[ \] = tA + f(t)i + s(t)k

• Cambio di Parametro

Data r(t) = Cos(t)i + Sen(t)j \[ \] t \[ \] [0, 2π]

1. Cambio il parametro (con qualcosa di semplice)Es. t = 2πμ

2. Calcolo:(I) μ = t \[ \] 2π

(II) t \[ \] [0, 2π] → μ \[ \] \[ \] 0, 2π / 2π \[ \] \[ \] 0, 1

3. Riscrivor'(μ) : Cos(2πμ)i + Sen(2πμ)j

Per il CAMBIO DI PARAMETRO i possono solo avere

I: curve crescenti MONOTONE

II: " decrescenti "

• GiustapposizioneDato γ₁ [a,b]→ℝ e γ₂ [c,d]→ℝsi ha una giustapposizione se:

γ₁(b) = γ₂(c)

Esempio:

γ₁ = {|t+1||2t+a||-(t+2)+3||(t+4)

γ₂ = {t∈[0,2]t∈[0,2]-t∈[0,2]t∈[0,2]

• Regolarità di una curva:γ_i si dice regolare se:

1. Esistono χ'(t) γ'¹(t) γ'²(t)
2. γ'_i ∈ C¹ nell'intervallo (continua e derivabile, continua la derivata)
3. γ'_i ≠ 0 ∀ t ∈ ℝ

• Vettore velocitàγ'(t) = |γ'(t)|v (scala - direzione)

Funzioni di Due Variabili

• Determinazione del dominio
  1. Procedimento analogo a 1 variabile
  2. Inoltre trovare rette, segmenti che trovano piani, semipiani, parti di piano

• Punto di Accumulazione

  "Dato P(x₀, y₀) si dice che P è punto accum se:

  Modo (a): ∃ A(x₀, y₀) ∈ D A [(x₀, y₀) —> (X₁, Y₁)

  Modo (b): ∀r di un pall. Br di centro P tolto il punto P, l'intersezione di Br con D risulta non vuota (almeno 1 intersez.)

  In simboli: ∀r [∃r (X₀, Y₀) \ (X₀, Y₀)] ∩ D ≠ ∅

  • Se comunque scelto r,
    1. Br ⊂ D allora P è INTERNO
    2. Br ∩ D = ⊄ allora P è ESTERNO
    3. Br ⊂ parti di D e p.ti esterni allora P ∈ Frontiera (bordo)

• Definizione e Calcolo dei Limiti

  ∀ε > 0 ∃δ / √(x-x₀)² + (y₀-y)² < δ ⇒ |f(x, y) - L| < ε

  1. Usare la definizione SCONSIGLIATO
  2. oppure
     1. Uso una restrizione per il candidato limite diversa
     2. [...]
     3. [...]

     Se trovo candidati diversi, ∄ Limite

     ATTENZIONE: le restrizioni devono passare per x₀, y₀

     ES se P(x₀, y₀) ≡ P(0, 0) non uso x=t:1 perché t:1 passa per (2, 0, 0)

     1. Se candidati sono TUTTI UGUALI allora converti in coord. POLARI { x = X₀ + ρ cos θ{ y = Y₀ + ρ sen θ
     2. Lim_ρ→0 P(x, y) = L ⇒ compure θ allora [..]
     3. non compete θ ultimo passaggio POLARI

(f): Sup di |f(x, y)| = 0

"Per calcolare il