Riassunto del corso analisi 2

Analisi II

Curve parametriche

Data la curva v(t) la parametrizzazione sarà:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t) i + y(t) j + z(t) k in R³

s(t) = [x(t), y(t)] = x(t) i + y(t) j in R² {z(t) = 0}

Curve cartesiane

Data f: [a,b] -> R "simile a y = f(x)" si avrà:

• Scegliere il parametro
• "Chiamo t una parte della f(x)"
• Scrivo la f [a,b] in forma parametrica
• f = t i + f(t) j + s(t) k

Cambio di parametro

Data r(t) = Cos(t) i + Sen(t) j, t in [0, 2pi]

Formula della circonferenza di raggio 1

• Cambio il parametro (con qualcosa di semplice)
• Es. t = 2pi u
• Calcolo:

(I): u = t / 2pi

(II) t in [0, 2pi] -> u in [0 / 2pi, 2pi / 2pi] = [0,1]

• Riscrivo
• r'(u) = Cos(2piu) i + Sen(2piu) j

Per il cambio di parametro si possono solo avere

I: curve crescenti monotone

II: u decrescenti

Analisi II

Curve parametriche

Data la curva V(t) la parametrizzazione sarà:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t) i + y(t) j + z(t) k in R³

s(t) = [x(t), y(t)] = x(t) i + y(t) j in R² { z(t) = 0 }

Curve cartesiane

Data f: [a,b] -> R "simile a y = f(x)" si avrà:

• Scegliere il parametro
• "Chiamo t una parte della f(x)"
• Scrivo la f [a,b] in forma parametrica
• f = t i + f(t) j + s(t) k

Cambio di parametro

Data r(t) = Cos(t) i + Sen(t) j, t in [0, 2pi]

Formula della circonferenza di raggio 1

• Cambio il parametro (con qualcosa di semplice)
• Es. t = 2pi u
• Calcolo:

(I) u = t / 2pi

(II) t in [0, 2pi] -> u in [0 / 2pi, 2pi / 2pi] = [0,1]

• Riscrivo
• r'(u) = Cos(2pi u) i + Sen(2pi u) j

Per il cambio di parametro si possono solo avere

I: curve crescenti monotone

II: u decrescente

Giustapposizione

Dato Y₁ [a,b] -> R e Y₂ [c,d] -> R

Si ha una giustapposizione se:

Y₁(b) = Y₂(c)

Esempio

Y₁ = t i + j, t in [0,2]

Y₂ = 2i + (t+1) j, t in [0,2]

Y₃ = (t+2) i + 3 j, t in [0,2]

Y₄ = (t+4) i + (3-t) j, t in [0,2]

Regolarità di una curva

Y si dice regolare se:

• Esistono x(t), y(t), z(t)
• Y in C¹ nell'intervallo
• (Continue e derivabile continua la derivata)
• Y' != 0 per t in R

Velocità

V'(t) = |V'(t)| . V'(t) / |V'(t)|

v scalare

Direzione

Funzioni di due variabili

Determinazione del dominio

• Procedimento analogo a 1 variabile
• Anche se trovo rette-seguenti si troveranno piani, semipiani, parti di piano

Punto di accumulazione

"Dato P(x_p,y_p) si dice che P è pto accum se:

Modo (a): &exists; A(x₀,y₀) ∈ D A A ≠ P / (x₀,y₀) -> (x_p,y_p)

Modo (b): Vv di una palla Br di centro P, l'intersezione di Br con D risulta NON VUOTA (almeno 1 intersez.)

In simboli: Vv [Br(x_p,y_p) \ (x_p,y_p)] n D != ∅

- Se, comunque scelto r,

• Br ⊂ D allora P è INTERNO
• Br n D = ∅ allora P è ESTERNO
• Br ⊂ parti di D e pti esterni allora P ∈ Frontiera (bordo)

Definizione e calcolo dei limiti

∀ε > 0 ∃δ / 0(x-x₀)² + (y-y₀)² < δ => |f(x,y)-L| < ε

• Usare la definizione SCONSIGLIATO

oppure

• (a): Uso una restrizione per il candidato limite
• (b): " " " diversa " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
• (c): " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "

Se trovo candidati diversi, Il limite!! Attenzione: le restrizioni devono passare per x₀,y₀

ES. Se P(x₀,y₀) = P(0,0) non uso x = t+1

Perché non passa per P(0,0)

(d): Se i candidati sono TUTTI UGUALI allora

conviene la coord. POLARI

{ x = x₀ + ρ cos θ

y = y₀ + ρ sen θ

(e): lim f(x,y) = L

ρ -> 0

POLARI

- compare θ allora ≠ L

- non compare θ: ultimo passaggio

(P): sup di |f(x,y)-2| = 0

POLARI

Per calcolare il sup si può anche porre la derivata in = 0

Definizioni e calcolo delle derivate

lim h->0 (f(x0+h,y0) - f(x0,y0)) / h = d_xf(x0,y0)

lim k->0 (f(x0,y0+k) - f(x0,y0)) / k = d_yf(x0,y0)

(a): Derivare in x significa trattare y come una costante

(b): È possibile sostituire a y il suo valore derivato da x o x0 al suo valore derivato da y

Esempio

f(x,y) = x²y + 5xy² - 7y

P(3,-1)

d_xf(x,y) = D