Riassunto Analisi I

Analisi 1

Assioma Dedekind

Assioma Dedekind: "A ⊂ℜ A ≠∅ e superiormente limitato, allora esiste in ℜ l’estremo superiore di A"

Maggiorante/minorante

Maggiorante/minorante: A ⊂ℜ A ≠∅ K ∈ℜ K è un maggiorante/minorante di A quando K ≥a ∀a∈A

Limitatezza

Limitatezza: A ⊂ℜ A ≠∅ A è superiormente/inferiormente limitato quando ∃ un maggiorante/minorante

Massimo/minimo

Massimo/minimo: Maggiorante/minorante che ∈A

Estremo

Estremo: K=sup A quando K è il min dei maggioranti

K=inf A "" "" il max dei minoranti

Combinazione convessa intervalli

Comb. convesso intervalli: A ⊂ℜ A ≠∅ è un intervallo quando ∀x₁,x₂ ∈ A si ha x₁ + t(x₂ - x₁) x ∈ A ∀ t ∈ [0,1]

P.to di accumulazione

P.to di accumulazione: K p.to di ac. quando ∀ r > 0 ∃a_n ∈ A, a_n ∈ (K - ε, K + ε) \ {K}

P.to di max/min

P.to di max/min: f: A → ℜ x_M ∈ A, x_m ∈ A x_n → x_M/m p.to di max/min quando f(x_n) → f(x_M/m) ∀x_M/m ∈ A

Analisi 1

Assioma Dedekind

Assioma Dedekind: "∀A⊆ℝ A≠∅ e superiormente limitato, allora esiste in ℝ l'estremo superiore di A"

Maggiorante/minorante

Maggiorante/minorante: ∀A⊆ℝ A≠∅ K∈ℝ K è un maggiorante/minorante di A quando K≥a ∀a∈A

Limitatezza

Limitatezza: ∀A⊆ℝ A≠∅ A è superiormente/inferiormente limitato quando ∃ un maggiorante/minorante

Massimo/minimo

Massimo/minimo: Maggiorante/Minorante che è ∈A

Estremo

Estremo: K=supA quando K è il min dei maggioranti K=infA " " " max dei minoranti

Comb. convesso intervalli

Comb. convesso intervalli: A⊆ℝ A≠∅ è un intervallo quando ∀x₁,x₂∈A si ha x₁⋅t+x₂(1-t)∈A ∀t∈[0,1]

Pto. di accumulazione

Pto. di accumulazione: K pto. di ac. quando ∀r>0 ∃aₙ∈A / aₙ

Pto. di max/min

Pto. di max/min: f: A→ℝ xₘ∈A xₘ=max/min pto. di max/min quando ∀x∈A f(x)≤f(xₘ)

Convessità

Convessità: f: I → R L'intervallo, f è convessa quando ∀x₀,x₁∈I, si ha f(tx₁+(1-t)x₀) 1) + (1-t)f(x₀)∀t∈(0,1)

Limiti

Limiti: lim_{x → +∞} f(x) = ±∞ quando ∀M>0 ∃x₀∈R/∀x>x₀ ∧ f(x)>M ∀x∈A lim_{x → ±∞} f(x) = L ∈ R quando ∀ε>0 ∃x₀∈R/ ∀x>x₀ ∧ |f(x)-L|

Teorema di unicità nel limite

Teorema di unicità nel limite f:A → R non è sup. limitato ∃ lim_{x → x0} f(x) → il lim è unico

Dim, per assurdo lim_{x → x0} f(x)=l₁ e lim_{x → x0} f(x)=l₂. l₁ ≠ l₂ {∀ε>0 ∃x₀∈R/∀x>x₁/ |f(x)-l₁| x₁∀ε>0 ∃x₀∈R/ |f(x)-l₂| x₂ |l₂-l₁| ≤ ε/2 e x₀ = max {x₁, x₂} ∀ε>0 ∃x ∈ R/ ∀x>x₀ / |f(x) - l₁| ≤ ε|f(x) - l₂| ≤ εl₁ = (≤)f(x) ≤ (≥)l₂ ⊕ l₂ ≤ ε (g f(x) ≤ l₂+ε(l₁ 2) assurdo

Teorema di permanenza del segno

Teorema di permanenza del segno A→&Ropf; non è sup. limitato ​lim_{x→&plus;∞} f(x) = ℓ > 0 => ∃δ > 0 definitivamente ( f(x) > 0 per x suff. grande ) ∀ε > 0 ∃x̄ / f(x) &RightTeeArrow;_x>x̄ |f(x) - ℓ| &leq; ε prendo x̄₀ / 0 < ℓ - ε &leq; f(x) < ℓ + ε (ℰ ≥ ℓ) => 0 < δ > f(x)

Teorema 2 carabinieri

Teorema 2 carabinieri: f, g, h: A→&Ropf; A non sup. limitato f &leq; g &leq; h definitivamente per x→&plus;∞ => lim_{x→&plus;∞} f(x) = lim_{x→&plus;∞} h(x)=> ∃lim_{x→&plus;∞} g(x) = lim_{x→&plus;∞} f(x)

Continuità

Continuità: f: A→&Ropf; x₀ ∈ A x₀ pto di acc. di A f è continua in x₀. quando lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

Successioni

Successioni: &Nopf;&hookrightarrow;&Nopf; N: {n∈&Nopf;: n→&geq;x₀} n₀∈&Nopf; f: N→&Ropf; {a_n} &subset;&Ropf; La successione {a_n} è limitata quando ∃c<GR/ c ∈ ℜ ∀m∈&naturals;

Teo. degli zeri

Teo. degli zeri: ∃f:[a,b]→ℜ continua, f(a)≠f(b)(so∃χ₀∈[a,b] / f(χ₀)=0

Successioni di Cauchy

Successioni di Cauchy: {a_n} è di Cauchy quando ∀ε>0 ∃m∈&naturals;/ |a_m-a_n|<ε∀m,n≥m∈

Serie telescopica

Serie telescopica: ∑_m=0^∞(a_m+1-b_m)=lim S_K∑_m=0^∞x_k=∑_m=0^Ra_m

Serie geometrica

Serie geometrica: ∑_m=0^∞|b^m |< 1 CONVERGE |b|<1∑_m=0^∞|b_m|=∞ |b|>1 b=1∑_m=0^∞|b^{m| OSCILLA |b|<1}

Serie armonica generalizzata

Serie armonica generalizzata (α>1 SERIE ARMONICA ∑_m=1^∞1/m^α=CONVERGE α>1+∞ α<1

Condizione necessaria convergenza

Condizione necessaria convergenza {a_n} ∑ a_n converge ⇒ a_n → 0 Dim. lim s_k = s ∈ R lim s_k+1 = s ∈ R s_k+1 - s_k = a_k+1 lim a_k = lim α_k+1 = lim s_k+1 - s_k = 0

Criteri studio serie

Criteri studio serie: a Confronto {a_n}, {b_n} con ora c_n definiti ⇒ se ∑ a_m + inf = ∞ ⇒ ∑ d_n = ∞ se ∑ b_m - ∞ b_R ⇒ ∑ a_m, s' ∈ R

Confronto asintotico

Confronto asintotico: {a_m}, {b_m} a_m > 0, b_n > 0 a_m ∼ b_m ⇒ ∑ a_m e ∑ b_m hanno lo stesso comportamento

Radice

Radice: {a_n} a_n > 0 L = lim n √a_n se L > 1 o 1 = ∞ allora ∑ a_n = ∞ se L

Criterio di rapporto

Criterio di rapporto: {a_n} a_n > 0 l = lim a_n+1 / a_n => se ∑ 1 > 1 ∞ allora ∑ a_n < ∞ se l < 1 CONVERGE

Criterio di confronto

Criterio di confronto: {a_n} a_n = {1} b_mb_n > 0 B_n monotona decrescente e b_n > 0=> ∑ a_m converge

Criterio di convergenza assoluta

Convergenza assoluta: {a_n} |a_m| converge => ∑ a_m converge

Derivata

Derivabilità

Derivabilità: f : A → ℝ x ∈ A pr. di acc. di A f è derivabile in x₀ quando lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) x → x₀ esiste finito.

Teorema di continuità delle funzioni derivabili

Teorema di continuità delle funzioni derivabili f : A → ℝ f derivabile in x₀ ∈ A => f continua in x₀ lim (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) x → x₀ = m ∈ ℝ f(x) = m(x)(x-x₀) + f(x₀) lim_x→x0f(x) = lim_x→x0m(x)(x-x₀) + f(x₀) = f(x₀)

Differenziabilità

ͷDifferenziabilità f: A → ℝ x₀ ∈ A dito di acc di A f ʹ è differenziabile in x₀ quando ∃ m ∈ ℝ / f(x) = f(x₀) + m(x₀) + o(x-x₀) per x → x₀

Teorema di Fermat

Teorema di Fermat f: [a,b] → ℝ f continua in [a,b], f derivabile in (a,b) x₀ pto di min di f, x₀ ∈ (a,b) ⇒ f'(x₀) = 0 (x₀ è pto c⊛o/stazionario)

Dim f(x) ≥ f(x₀) ∀ x ∈ [a,b] f'₊(x₀) = lim_x→x0+f(x) - f(x₀) x - x₀ ≥ 0 ⇒ 0 f''(x₀) : lim x→x_0- limf(x) - f(x₀)≥0 x - x₀→ 0↙ 0⇒ f'(x₀) = 0

Teorema di Rolle

Teorema di Rolle f: [a,b] -> ℝ continua in [a,b], derivabile in (a,b) f(a) = f(b) => ∃ x₀ ∈ (a,b) / f'(x₀) = 0 (esiste un p.to critico)

Dim. x^Weierstr. : ∃ x_m, x_M ∈ [a,b] x_m ∈ [a,b] x_M ∈ [a,b]=> x_m = a, x_M = b f(a) = f(x_m) >= f(x) 0 ∃δ>0 / f(x₁) - f(x₂) < ε / ∀x₁,x₂ con |x₁-x₂|<δ

Calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale f: [a,b] → R continua (integrabile) F: [a,b] → R continua e derivabile in (a,b) con F' = f(F = primitiva)=> ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dim ε>0 ∃δ>0 e ∀ε_ε con |x - ξ_ε|<δ / I*^(x_ε,y_ε) = I*^(x_ε,x)<εχ_ε={a < x_ε < x < ... (x .. b) F(b)-F(a)=F(x_m)-F(x₀) = ^m⁄_i=0∑(F(x_i)-f(x_i))x₀ x₁ x₂ x_ma b F(x_i)-F(x₀) i=0 F(x_i+1)-F(x_m) i=1 F(x_n)-F(x_m-1) i=m-1

F : I_i → ℜ continua e derivabile in (x_i, x_i+1) * Lagrange f(x_i+1)-f(x_i) ⁄x_i+1-x_i=F'(x_i*) ⋅ ∃ x_i* ∃ (x_i, x_i+1) F(x_i+1)-F(x_i) = ∫_xi^x_i+1f(x_i*)(x_i+1-x_i) F(b)-F(a) = ^m-1⁄_j=0∑F(x_i*)(x_i+1-x_i) "somma Cauchy Riemann"_jⁱ(x_i) ≤ ∑^x_i+1-x_iI(I_ε0,δ) ε₀,ξ)_ε0ε→0∫_a^bf(x)dx ∫_a^bf(x)dx

Teorema della media integrale

Teorema della media integrale f : ∑_a,b⋅ → ℜ continua (integrabile)=> ∃ x₀ ∃ ∑[a,b]/ g(x₀) = ∫_a^b f(x)dx = ¹⁄_b-a(∫_a^b y(x)dx