Recenti prove d'esame di Geometria

Geometria - Settembre 2018 - Soluzioni

1) v₁ = (1, -1, 2)   v₂ = (2, m, 1)   v₃ = (m, 1, -2)

• v₁ ⋅ v₂ = 2 - m + 2 = 4 - m
• v₁ ⋅ v₃ = m + 1 - 4 = m - 3
• v₂ ⋅ v₃ = 2m - m - 2 = 0

ed   base ortogonale   m = 3 ⇒

• u - m ≥ 0
• m - 3 ≥ 0
• 2m - m - 2 ≥ 0

⇔ m = 4m = 3

Sia m = u, m = 3

B₁: v₁ = (1, 1, -1, 2) √6/42(2, 4, 1), N₃ = (3, -1, -1, 2)

base ortogonale

Coord. di v = -1 risp. B₁ = ¹/₄₂ (35, -6, -7) = -2

v = (3, -1, 5, -7)

2) x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 0

x₁ - x₃ + 2x₄ = 0

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0

Le soluz. cost. un sottosp. di R⁴ di dim 1 avente come base il vettore (4, -3, -2, -3)

3) φ: x - 4y + 2 - 1 + k(2x + 4y - 2) = 0   k ε R

Il faccio proprio perchè i due piani generetori x - 4y + z - 1 = 0   e   2x + y - 2 = 0 sono non paralleli.

α // ⁱ + j + 3k

2kx(2k + 1)/ e y(k - 1) + z - 2k - 1

Piano contenente τ ∩ α

x + 2 - 2 + λ(y - 2z) = 0

xpy + z(1 - 2k) - 2 = 0

1 + 2p + - 1 + 2k = 0 ⇒ p = 0

= Δx + z - 2 = 0

GEOMETRIA - Settembre 2018

1. V₁ = (1, -1, 2)   V₂ = (2, m, 1)   V₃ = (m, 1, -2)

   V₁ ⋅ V₂ = 2 - m + 2 = 4 - m   V₁ ⋅ V₃ = m + 1 - 4 = m - 3   V₂ ⋅ V₃ = 2m - m - 2 = 0

   ed base ortogonale

   { u - m = 0 m - 3 = 0 } 2m - m - 2 = 0

   Sia m = 4, u = 3

   : V₁ = (1, 1, 1, 2) N₂(2, 4, 1), N₃ = (3, -1, -2)

   base ortogonale

   Coord. di v = -1/42:

   | -4, 7, -14 | (35) = | 42 | | -4, 8, -2 | (5 ) | 42 | | -9, 3, 6 | (-7) | -84 |

2. x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 0

   x₁ - x₃ + 2x₄ = 0

   x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0

   A = | 1 -1 2 |   rango 3 => inf. soluz.

   | 1 0 1 | | 1 0 2 | | -1 1 -2 |

   (4, -3, -2, -3)

3. : x - 4y + 2 - 1 + (2x + 4y - 2) = 0

   Proiez. ortogonale di su α:

   α: x + 2y - z - 1 = 0

   { x = 2 - t { y = 2t { z = t

   z @ x=2-z   y=2z

   piano contenente τ ⟂ α

   x + 2y - z = 1

   = p : { x + 2y - z = 1

   x + 2 - 2 = 0

4)

A_Φ⁴ = [ 1 1 -2 ][-1 2 0][ 0 1 -1 ]

dim Im f = c (A_Φ⁴) = 2

dim Ker f = 1

B_{Im f} = { (1,1,0), (1,1,1) }

B_{Ker f} = { (1,1,1) }

T_ζ A_Φ⁴ = -1 -1 = -1

( -›λ ( λ² + 2λ - 2 ) + ( -1 -›λ + 2 ) = 0

›λ ( λ² + 2λ - 2 )

›λ ( λ² - ›λ² + ›λ

›λ ( λ³ + ›λ² - 2λ² + λ

›λ ( λ³ - ›λ² + 2λ -›λ³ - ›λ = 0

›λ ( λ³ + ›λ² - 2λ = 0

›λ ( λ³ - λ² - 2λ = 0

λ ( λ³ - λ² - 2λ = 0

λ(λ² + ›λ

x = ± 1 ± 3/2

D = -1

autovalori λ = -2,0,1

3 reali e distinti => diagonalizzabile

E_-2

E_-2 = {(-1, 1, 1)}

E₀ = Ker f

E₁

E₁ = {(2, 2, 1)}

Q_t = { (-1,1,1), (1,1,1), (-2,2,1) }

è una base di autovettori con A_Φ⁴ = [ -2 0 0 ][ 0 0 0 ][ 0 0 1 ]

(e_m) = (-5,1,-1)

5)

Ɣ = 2t³ + j

ϛ: x - 5y + 4 λ = 0 x crocanti

vers Ɣ = 1/26 (5t³ + j)

pr. ort. di Ɣ su ϛ

(Ɣ ⋅ vers ϛ)(vers ϛ) = 11/26 ; 1/26 (5t³ + j)

= 11/26 (5t³ + j)

s || Ɣ per A (2, -3)

x - 2/2 = 4 + 3/1

x - 2 = 2y + 6

s: x - 2y - 8 = 0

t: 5x + y - 3 = 0

5(x - 1) + 1 (y + 2) = 0

6)

Tema A

• V
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• F
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