Rappresentazione di funzioni in sistemi di riferimento cartesiani non ortogonali e non monometrici

Rappresentazione di funzioni in

Sistemi di riferimento cartesiani

Non ortogonali e non

Monometrici

Furinghetti Marco

Liceo Scientifico Galileo Galilei

Classe 5^C

Anno scolastico 2004/2005

1. Nuova interpretazione della traslazione

Le traslazioni sono sempre state contraddistinte da una costante additiva: un esempio può essere la funzione y(x)=x²+2.

Ora, possiamo intendere quel +2 come una funzione che corrisponda al nuovo asse delle ascisse (la indicheremo con Φ(x)). Quindi possiamo riscrivere la funzione precedente così:

2. I primi sistemi alternativi

Osservando il sistema di prima sorge spontaneo l’interrogativo: se al posto di una retta esprimo l’asse x con una qualsiasi funzione? In effetti si può pensare ad infinite traslazioni puntuali, non più legate ad una costante, ma legate ad un valore che è diverso per ogni punto. Quindi, se l’asse delle ordinate è lo stesso, allora per ottenere il disegno della funzione in un sistema che ha l’asse delle x espresso da una funzione è necessaria solo una somma di funzioni.

Esempio

3. Variazione dell’asse delle ordinate

Abbiamo visto che, pur variando l’asse delle ascisse (mantenendo quello delle ordinate) non si perde il carattere di funzione originario. Questo non accade sempre se si varia anche l’asse delle ordinate. Dunque si deve passare a delle formule parametriche, che leghino i valori delle ascisse e delle ordinate ad un parametro. La situazione, illustrata graficamente, è la seguente:

Per ottenere il valore dell’ordinata si attua il ragionamento di prima; per l’ascissa, invece, si deve aggiungere il valore assunto dall’inversa di secondo tipo della funzione che contraddistingue il nuovo asse y. Tradotto in formule:

Esempio

4. Rappresentazione di curve parametriche

Fino ad ora abbiamo attuato le trasformazioni delle funzioni prendendo in considerazione punti P(t, f(t)). Per poter trasformare anche le curve espresse da formule parametriche, dobbiamo considerare punti che abbiano i valori dell’ascissa e dell’ordinata espressi appunto da una formula parametrica:

P(PX(t), PY(t)). Quindi le formule complete sono:

Esempio

Alcune curve parametriche, se vengono ambientate in un diverso sistema di riferimento, non solo si deformano, ma cambiano proprio radicalmente la loro forma. Osserviamo come cambia un’ipotrocoide in un altro sistema di riferimento:

PX(t)= 3cost + 2cos3t

PY(t)= 3sent – 2sen3t