Raccolta esercizi svolti di Analisi 2

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali

Esercitazioni di Analisi II (AA 2021-2022)

Esercitatore: Christian Migliavacca

Autore: Moscagiuri Pietro

Moscagiuri Pietro Analisi II

Indice

• 1 Esercitazione 1 4
• 1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2 Esercitazione 2 4
• 2.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 3 Esercitazione 3 9
• 3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 3.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 3.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 3.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 3.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 4 Esercitazione 4 14
• 4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 4.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 4.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 5 Esercitazione 5 20
• 5.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 5.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 5.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 5.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 6 Esercitazione 6 27
• 6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 6.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 6.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 6.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 6.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 6.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 6.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 6.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 6.10 Esercizio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 6.11 Esercizio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 6.12 Esercizio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1 Moscagiuri Pietro Analisi II

• 7 Esercitazione 7 33
• 7.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 7.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 7.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 8 Esercitazione equazioni differenziali 38
• 8.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 8.1.1 Soluzione di un’equazione a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 8.1.2 Problemi di Cauchy con equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . 40
• 8.2 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 8.2.1 Problemi di Cauchy per equazioni lineari del primo ordine . . . . . . . . . 43
• 8.2.2 Esistenza e prolungabilità delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 8.3 Equazioni e sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 8.3.1 La struttura della soluzione ed il principio di sovrapposizione . . . . . . . . 46
• 8.3.2 Equazioni a coefficienti costanti omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 8.3.3 Equazioni a coefficienti costanti complete, metodo di somiglianza . . . . . 49
• 8.3.4 Equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• Problemi di Cauchy per equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti 8.3.5 costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• Problemi diversi riguardanti le equazioni lineari del secondo ordine a 8.3.6 coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 9 Esercitazione 8 56
• 9.1 Funzioni reali di più variabili reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 9.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 9.2 Grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 9.2.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 9.2.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 9.2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 9.3 Insiemi di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 9.3.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 9.3.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 9.3.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• n 9.4 Topologia in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 R
• 9.4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 10 Esercitazione 9 62
• 10.1 Nozioni di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 10.1.1 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 10.2 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 10.3 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 10.4 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 10.5 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 10.6 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 Moscagiuri Pietro Analisi II

• 11 Esercitazione 11 Estremi di funzioni di più variabili 69
• 11.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 11.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 11.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Moscagiuri Pietro Analisi II

1 Esercitazione 1

1.1 Esercizio 1

2 Esercitazione 2

2.1 Esercizio 1

(2) → Sia V = Der (R) lo spazio lineare delle funzioni derivabili 2 volte su Sia L : V E := RR. R definito da 00 0− − (Lf )(x) = f (x) 2f (x) 3f (x)

• 1. Verificare che L è lineare.
• 2. Verificare che L è iniettiva e se lo è la sua restrizione a U = Span(cos x, sin x).∈
• 3. Esiste f U : (Lf )(x) = g(x) := 5 cos x?
• 4. Determinare la fibra di di g

1) Sappiamo dalla teoria che una funzione lineare ha anche la derivata allo stesso modo lineare, dunque non occorre dire altro.

2) Per rispondere al secondo quesito cerchiamo il KerL 00 0∈ ⇐⇒ − −f KerL f 2f 3f = 0 −x 3x⇐⇒ f (x) = c e + c e1 26 {0} → KerL = L non è iniettiva

Sia J = L|U la restrizione di L a U → J : U W

Non ci sono elementi non nulli di U appartenenti a KerL −x 3x } → {0} → KerL = Span{e , e KerJ = J è iniettiva

3) Derivando l’elemento di U , si ottiene ancora un elemento di U . ⊆ → Quindi ImJ U e possiamo considerare J : U U un endomorfismo. → Gli endomorfismi iniettivi sono anche suriettivi ImL = U . ∈ Comunque si scelga g U deve esistere f : Lf = g; in particolare è vero per g(x) = 5 cos x.

4) ∗L (g(x)) = KerL + f (x) Lf = g sin x−x 3x{c − − ∈e + c e cos x , c , c R}1 2 1 22 sin x− − si trovano cercando la soluzione particolare di Lf = g in UI due valori cos x 2

4 Moscagiuri Pietro Analisi II

2.2 Esercizio 2

3 4→ Sia f : data daR R −f (x , x , x ) = (5x x2, x + x , x , x )1 2 3 1 1 2 3 1

• 1. f è lineare?
• 2. Trovare la matrice associata A
• 3. Determinare una base di Kerf e di Imf
• 4. Dire se f è iniettiva o/e suriettiva
• −1, 5. Determinare l’immagine di (0, 2) e la fibra di (5, 1, 3, 1)

1) Sì, è lineare perché ognuna delle 4 componenti è un polinomio omogeneo di grado 1.

2)    − −15x x 5 01 2 x 1 x + x 1 1 01 2   →xf = A =2      x 0 0 13   x 3 x 1 0 01 si può dunque scrivere f come prodotto di matrici per ”vettore colonna”

Osservazione:  xx 11 xx Ossia prodotto di due matrici: 4x3 e 3x1= Af 22  xx 33

3) Determino ora le basi    −5x x 0 1 2 x = 0x 11 x + x 0 1 2   ∈ ⇐⇒ ⇐⇒x Kerf = x = 02     2 x 03   x  x = 03 x 0 31  0 0Kerf è banale, ovvero Kerf = . Non esiste base. 0 

Per quanto riguarda la base generica di Imf             −1−x− 055x 05x x 21 2 1 x 1 0110x xx + x1 2 1 2            → }x +x +x Imf = Span{v , v , v= xf = + +=2 1 2 331 2             10 0xx 0 0 33            x 3 0 010 0x x1 1

Per il teorema di ”nullità + rango”: 3dim Kerf + dim Imf = dimR

5 Moscagiuri Pietro Analisi II

− −dim Imf = dimR dim Kerf = 3 0 = 3

Poiché v , v , v generano Imf che ha dim = 3 sono linearmente indipendenti, significa che1 2 3 possono essere una base.

4) ˆ → Kerf banale f è iniettiva; ˆ 4dim Imf = 3 < dimR = 4 che rappresenta la dimensione dello spazio di partenza: f non è suriettiva

−1, 5) Im(0, 2)    · −5 0 (−1) 1 0 − −10 1   −1f = =     2 2   2 0 0

Ho solamente sostituito all’interno del vettore di uscita le componenti x , x , x fornite dal testo.1 2 3

Ker(5, 1, 3, 1)  −5x x = 51 2 x = 1 1 x + x = 1 1 2 = x = 02x = 33 x = 0  3 x = 11

In questo caso la fibra è data da un solo elemento dal momento che f è iniettiva:  5   11  ∗   0f =   3  3 1

Per ottenere la fibra del vettore fornito è bastato applicare un’uguaglianza tra il vettore di uscita e il vettore fornito, in questo modo trovo x , x , x che caratterizzano la fibra di f .1 2 3

Osservazione: In generale la fibra è l’unione di tutte le controimmagini, quindi può avere più elementi.

Osservazione: L’insieme di generatori di Imf è dato dalle colonne della matrice. Non si tratta di un caso ma di un fatto generale. Nel caso però di colonne linearmente dipendenti, per ottenere una base occorrerà eliminarne alcune.

6 Moscagiuri Pietro Analisi II

2.3 Esercizio 3

4 4→ Sia F ; con matrice associata:R Rα  −1α 2 1−11 2 α  ∈A = α parametroRα  −1 −21 0 −10 1 0

• 1. Determinare basi di nucleo ed immagine dopo aver anche precisato per quali α F è invertibile α    −x αx + 2y z + t−y x y + 2z + αt   F =α    −x −+ y 2zz   −t y z
• 4 2→ 2. Per α = 0, data G : con matrice associataR R 1 0 1 2B = −10 1 0◦trovare la matrice C associata a G F 0.

{0}1) F è endomorfismo di quindi invertibile, dunque iniettiva e di conseguenza KerF =R,α α (Si ricorda che per gli endomorfismi, iniettiva = suriettiva).

∈ Cerchiamo ora (x, y, z, t) KerF :α − −αx + 2y z + t = 0 αz + 2z z + t = 0   − −z −x y + 2z + αt = 0 z + 2z + αt = 0 =−x − −z+ y 2z = 0 x =  − y z =0 y = z

a 6Dalla 2 equazione otteniamo αt = 0, se α = 0 allora t = 0

a −αz → −Dalla 1 equazione si ha + z = 0 (α 1)z = 0   0   0  6 → → →Dunque se α = 0, 1, allora z = 0 = t x = y = 0 KerF = F è invertibileαα 0   0 

Se prendessimo α = 0 avremmo:  z + t =0      −a −1x −zx =  0 = 0 y a 1      → →= = = a dim KerF = 1y = z α     z a 1−zx =       −zt = −a −1t y = z

7 Moscagiuri Pietro Analisi II

−1), La base di questo Ker è (−1, 1, 1, ma F = F non è invertibile!α 0 −10 2 1−11 2 0 A =  −1 −21 0 −10 1 0 → Le colonne di A generano ImF ma non possono essere linearmente indipendenti non sono0 0base −dim ImF = 4 1 = 3

   1 00 1   e sono linearmente indipendenti (non sono proporzionali),   −10   0 0

 2−1  è lin. indipendente perché è rappresentabile come combinazione lin. dei precedenti.  1 1     201   −110     , è base di ImF, 0   −1 10      100 

Nel caso in cui α = 1 l’elemento generico di KerF è:1     −1 −1xy 1 1     → → →= z base di KerF dim KerF = 1 non invertibile1 1     z 1 1     t 0 0 −dim ImF = 4 1 = 31

 −11 2 1−11 2 1 A =  −1 −21 0 −10 1 0

Le colonne 1,2,4 sono base di ImF .1 46

Se α = 0, 1, allora F è suriettiva, dunque dim ImF = 4 rightarrow ImF = Rα α

Una base di ImF è data dalle 4 colonne della matrice.α

8 Moscagiuri Pietro Analisi II

2) Basta calcolare il prodotto  −10 2 1 −1 −1 −51 0 1 2 1 2 0 5 1 · ·C = B A = =0  −1 −1 −2 −20 1 0 1 0 1 3 0 −10 1 0

Osservazione: 4 2◦ →G F : R R0

Quindi la matrice C deve avere 2 righe e 4 colonne

◦ → ·G F B A Prodotto matrici associate0

3 Esercitazione 3

3.1 Esercizio 1

Determinare dim e base di }V = Span{v , v , v , v1 2 3 4

−1, −1, −1),v = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), v = (0, 0, 1, v = (−1, 0, 0, 1)1 1 1 1

La prima cosa da fare è esprimere i vettori come righe di una matrice, dopo di che applichiamo le mosse di Gauss per rendere la matrice una matrice a scala:

      −1 −1 −1 −11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0−1 −1 −1 −10 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0      ' ' 'A =       −1 −1 −1−1 0 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1      R +R R +R R +R4 1 4 2 4 3