Raccolta esercizi + formulario

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

26 febbraio 2015

1 Serie

1.1 Serie numeriche

Stabilire se le seguenti serie numeriche sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia affermativa, stabilire la somma.

• 1. +∞ k−1 1X 4 3k=1
• 2. +∞ 2kX k +5k=1
• 3. +∞X tan kk=0
• 4. +∞ k k3 + 2X k6k=0

1.2 Somma di una serie

Stabilire per quale valore di è verificata la seguente uguaglianza: ∈c R +∞ −kX (1 + c) =2k=2

1.3 Criteri di convergenza

Stabilire il carattere delle seguenti serie:

• 1. +∞ 3X 22k +1k=0
• 2. +∞ k2X 5 −k 4k=2
• 3. +∞ 2X k sin 2kk=1 1
• 4. +∞ ln kX kk=1
• 5. +∞ 1X k −e 1k=1
• 6. 2+∞ k 1X −1 kk=1
• 7. +∞ 1X ·x ln xk=2
• 8. +∞ ln kX k(−1) kk=1
• 9. +∞ sin (ln k)X 2k ln kk=2

1.4 Stima di una somma

Dimostrare la convergenza della serie +∞ k(−1)X k!k=0 Stimare poi la somma della serie con un errore non superiore a .−3102

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

23 marzo 2015

1 Serie

1.1 Serie numeriche

Stabilire se le seguenti serie sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia affermativa, stabilire la somma.

1. +∞ k−1 1X 4 3k=1

Si osserva che si può ricostruire la serie geometrica mediante la sostituzione :−n = k 1+∞ +∞ +∞k−1 n n 1 1 1 (1.1)X X X4 =4 =43 3 3n+1=1 n=0k=1 , Ricordando che la serie geometrica con ragione tale che converge a 1|q|q < 1 1−q+∞ n ·11 4 3 (1.2)X4 ==4 =61 −−3 3 11 3n=0

2. +∞ 2kX k +5k=1

Si verifica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche: 2k (1.3)6lim a = lim = 2 = 0n k + 5k→+∞ k→+∞ La condizione non è verificata: la serie diverge a , poiché si continuano a sommare termini positivi.+∞

3. +∞X tan kk=0

Si verifica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche: (1.4)6lim a = lim tan k = non esiste = 0nk→+∞ k→+∞ La condizione non è verificata: la serie non converge - e non si può aggiungere altro.

4. +∞ k k3 + 2X k6k=0

Si può spezzare il numeratore della frazione: +∞ +∞ kk k k 3 + 2 3 2 (1.5)XX = +k k k6 6 6k=0 k=01E quindi dividere la serie in due: +∞ +∞ +∞ +∞ +∞k kkk k k 23 3 2 3 2 (1.6)X X X X X+ = + = +k k k k6 6 6 6 6 6k=0 k=0 k=0 k=0 k=0Sono due serie geometriche con , quindi:|q| < 1+∞ +∞ +∞ +∞k k k k 3 1 1 72 1 1 (1.7)X X X X+ = + = + =1 1− −6 6 2 3 21 12 3k=0 k=0 k=0 k=0

1.2 Somma di una serie

Stabilire per quale valore di è verificata la seguente uguaglianza:∈c R +∞ −kX (1 + c) =2k=2

La serie è geometrica: +∞ +∞ k 1 (1.8)−kX X(1 + c) = 1+ ck=2 k=2

Questa converge solo se , quindi:|q| < 1 1 (1.9)< 11+ c (1.10)|1 + c| > 1 (1.11)2(1 + c) > 1 (1.12)2c + 2c > 0 (1.13)−2 ∨c < c > 0

Il problema consiste nel fatto che la formula canonica della somma della serie geometrica richiede che questa parta da zero. Occorre quindi osservare che la serie con primo indice 2 è equivalente alla stessa serie che parte da 0 alla quale vengono sottratti i primi due termini.+∞ +∞k k 1 0 1 1 1 1 (1.14)X X − −=1+ c 1+ c 1+ c 1+ ck=2 k=0

Utilizzando ora la formula della serie geometrica:+∞ k 1 0 11 1 1 1 1 (1.15)X −− − − 1 == 1−1+ c 1+ c 1+ c 1 + c c (1 + c)1 1+ck=0

Imponendo che questa sia uguale a 2: 1 (1.16)=2c (1 + c) (1.17)2 −2c + 2c 1 = 0√±1 3 (1.18)c = 2 √ Ricordando la condizione di convergenza, si conclude che l'unico valore accettabile è .1+ 3c = 221

1.3 Criteri di convergenza

Stabilire il carattere delle seguenti serie:

1. +∞ 3X 22k + 1k=0

Criterio del confronto asintotico: 3 13 (1.19)∼∼2 2 22k + 1 2k k Dal momento che la serie armonica generalizzata converge se , la serie converge.1P α > 1αk

2. +∞ k2X 5 −k 4k=2

Condizione necessaria di convergenza: k2 (1.20)lim a = lim = +∞k 5 −k 4k→+∞ k→+∞ Per le gerarchie degli infiniti. La serie diverge.

3. +∞ 2X k sin 2kk=1

Criterio del confronto asintotico: per gli sviluppi di McLaurin, per . Nella serie∼ →sin x x x 0considerata l'argomento del seno tende a zero, quindi la formula è valida. 2 2 12 (1.21)∼ ∼∼ ·k sin k2 2k k k k La serie armonica diverge, quindi diverge pure la serie in esame.

4. +∞ ln kX kk=1

Criterio del confronto: per , quindi definitivamente. Dal momento che la serieln k 1ln k > 1 k > 3 >k karmonica diverge, anche quella in esame ha lo stesso comportamento.

5. +∞ 1X k −e 1k=1

Criterio del rapporto: 1 k −a e 1 1 (1.22)k+1k+1 −1elim = lim = lim = < 11 k+1 −a e 1 ek→+∞ k→+∞ k→+∞k k −1e Quindi la serie converge

6. 2+∞ k 1X −1 kk=1

Criterio della radice: 1s 2 !2k k kk √ 1 1 1 (1.23)k −1− − −lim a = lim 1 = lim 1 = lim 1 = e < 1k k k k kk→+∞ k→+∞ k→+∞ k→+∞ Quindi la serie converge. 3

7. +∞ 1X ·k ln kk=2 sia decrescente nell'intervallo

Criterio integrale: per accertarsi che la funzione 1 [2; +∞]f (x) = x ln(x)si studia la sua derivata: − −ln x 1 (1.24)0f (x) = 2(x ln (x)) La funzione è decrescente in (1.25)− −ln x 1 < 0 (1.26)−1ln x > (1.27)−1x > e Quindi in tutto l'intervallo di integrazione. Si può ora risolvere l'integrale improprio:ˆ ˆ+∞ +∞1 1 (1.28)+∞dx = dx = [ln (ln x)] = +∞2x ln (x) x ln (x)2 2 La serie conserva lo stesso carattere dell'integrale, di conseguenza diverge.

8. +∞ ln kX k(−1) kk=1

La serie è a segni alterni: criterio di Leibniz. Si verificano le condizioni: ln k (1.29)= 0 OK!lim b =k kk→+∞ln k (1.30)non crescente definitivamente OK!k La seconda può essere verificata tramite lo studio della derivata. Per il criterio di Leibniz la serie converge.

9. +∞ sin (ln k)X 2k ln kk=2

Criterio della convergenza assoluta: si studia la serie+∞ sin (ln k) (1.31)X 2k ln kk=2 Si osserva che e che . Pertanto:1 1|sin (ln k)| < 1 <ln k ln 2sin (ln k) 1 (1.32)<2 2k ln k k ln 2fosse convergente, allora lo sarebbe anchePertanto, per il criterio del confronto, se .+∞+∞ sin(ln k)1P P2 2k=2 k=2k ln 2 k ln k

Per passare dal condizionale all'indicativo si applica il criterio del confronto asintotico:1 1 (1.33)∼2 2k ln 2 k L'ultima è una serie armonica generalizzata con , pertanto converge. Quindi anche la serie in1P α > 1αkesame è convergente. 4

1.4 Stima di una somma

Dimostrare la convergenza della serie +∞ k(−1)X k!k=0 Stimare poi la somma della serie con un errore non superiore a .−310

Si tratta di una serie a segni alterni: si impiega quindi il criterio di Leibniz.1 (1.34)lim b = lim = 0 OK!k k!k→+∞ k→+∞1 (1.35)k! crescente =⇒ non crescente definitivamente OK!k! Le ipotesi del teorema sono confermate, quindi la serie converge.

Per la stima è opportuno usare la formula (1.36)|S − | ≤S bk k+1 (1.37)|E ≤(k)| bk+1 Dove rappresenta l'errore commesso considerando la ridotta di indice invece della serie completa. OccorreE (k) kora individuare il primo termine della serie inferiore a .−310 (1.38)0! = 1 (1.39)1! = 1 (1.40)2! = 2 (1.41)3! = 6 (1.42)4! = 24 (1.43)5! = 120 (1.44)6! = 720 (1.45)7! = 5040

Quindi : si deve calcolare la somma della serie considerando solo i termini fino a .k + 1 = 7 k = 61 1 1 1 1 11 (1.46)−1− − − '+ + + = 0.368 eS (6) = 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6!5

Altre serie numeriche

Nicola Pellicanò

March 15, 2013

Soluzioni giovedì

Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche

• 1. +∞ 2−nP (livello 4/5)nen=1
• 2. +∞ n(−1)P e stimare la somma della serie con un errore minore di 1/100 (liv-n!n=0ello 3/5)
• 3. +∞ 1P (livello 1.5/5)n/2(log(n))n=2
• 4. +∞1P (livello 1/5)√ nn=5
• 5. +∞1P (livello 1/5)√2n + nn=1
• 6. +∞ 22kP (livello 3/5)k1+4n=0 1
• 7. +∞ 1P in funzione del parametro a e calcolare a tale che la somma sian(1+a)n=11/3 (livello 2/5)
• 8. +∞ 1P (livello 2/5)n5 nn=1
• 9. +∞ πsin(nπ+ )P (livello 4/5)2√ nn=1
• 10. +∞ 1P (livello 2/5)√ nn2n=1 2

Nicola Pellicanò

March 21, 2013

1. +∞ 2−nP nen=1

Conviene usare il criterio integrale o quello della radice o quello del rapporto. Eseguo lo svolgimento dei primi due:

Criterio integrale 2Occorre verificare le ipotesi > è sicuramente positiva e con-−xf (x) = xetinua. Devo verificare la non-crescenza. Ricordiamo da Analisi 1 che per studiare l'andamento ne facciamo la derivata.2 2 20 −x −x −x 2 2· − ⇒ −f (x) = e + x (−2x)e = e (1 2x ) > 0 (1 2x ) > 0 =⇒11− < x <√ √2 2

La funzione non è non-crescente MA(!!!!) dal valore 1 in poi lo è! ed a noi interessa proprio integrare da lì! Quindi il criterio integrale è in definitiva applicabile. (perdonate lo scarso formalismo matematico nel trattare il +inf)´+∞ h i2 2 -> L'integrale improprio converge La−x −x12 1− ⇒dx = =xe e +∞ 2e11serie converge

Criterio della radice√ √√ la serie con-n n −n2 2−n −n ·lim ne = lim n e = lim 1 e = 0 < 1 =⇒nn→+∞ n→+∞ n→+∞verge 1√si tenga sempre a mente perché spesso non viene in mente dilim n = 1nn→+∞fare il criterio della radice perché non si sa semplificare questa cosa qua, quando abbiamo visto che in questo caso era abbastanza più veloce.

2. +∞ n(−1) P n!n=0

Criterio di Leibniz:, ok1lim = 0n!n→+∞ non-crescente, ovviamente vero.1 n! n≥0 Verifica di non-crescenza: , vero per tutti gli n11 ≤ ⇒ ≤≤ → n! (n + 1)!b bn+1 n (n+1)! n! La serie è in definitiva convergente

Per calcolare la stima ricorriamo alla formula 1|s − | ≤ ≤s bn n+1 1001 1≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥(n + 1)! 100 n 4(n+1)! 100 Scegliamo n=41 16 1 38− −s = 1 1 + + =4 2 24

3. +∞ 1P n/2(log(n))n=2

Criterio della radice La serie converge1 1√lim = 0 < 1 =⇒= lim 1/2(log(n))n n/2(log(n))n→+∞ n→+∞

4. +∞ , armonica generalizzata con La serie diverge1P α = 1/2 =⇒√nn=5

5. +∞ 1P √2n + nn=1

Confronto asintotico La serie converge1 1' =⇒√ 22 nn + n

6. +∞ 26. 2nP n1+4n=0

Criterio del rapporto n 12 2n n 4 ( +1)2(n+1) 2(n+1)1+4 1+4 1n· · ·= lim = lim 1 <lim =41n+1 2 2 n n1+4 2n 2n 1+4·4 44 ( +4)n→+∞ n→+∞ n→+∞ n4La serie converge1 =⇒ 2

7. +∞ , a parametro reale1P n(1+a)n=1

Si tratta di una serie geometrica, quindi (ricordandone la definizione) imponiamo: Serie convergente per 1−1 −2 ∨< < 1 =⇒ a < a > 01+a Serie divergente per 1 ≥ −1 ≤1 =⇒ < a 01+a Serie indeterminata per 1 ≤ −1 −2 ≤ −1=⇒ a <1+a

Attenzione adesso! L'esercizio vuole a affinché la somma faccia 1/3! Ma quella serie geometrica non parte da 0! Dobbiamo imporre:+∞+∞ 1 1 1 11 PP − −= = 1 =1n n 0(1+a) (1+a) (1+a) 31− 1+an=0n=1 Risolvendo l'equazione di destra viene a=3.

N.B Si deve controllare se a=3 è un valore che rende la serie effettivamente convergente, e siccome è così, la soluzione è accettabile.

8. +∞ 1P n5 nn=1

Criterio della radice (quello del rapporto è facile lo stesso)La serie converge1 1 1lim = lim = < 1 =⇒√√ √n n 5nn n5 n n 5n→+∞ n→+∞

9. +∞ +∞+∞ π n)sin(nπ+ cos(nπ) (−1)9. P PP = =2√ √ √n n nn=1 n=1n=1

Usiamo il criterio di Leibniz:, ok1lim = 0√ nn→+∞on , ok La serie converge1 −non crescente =⇒√ n n≥1

10. +∞ 1P √ nn2n=1

Criterio del rapporto(quello della radice è facile lo stesso)√ converge1 12n·lim n2 = < 1√ n+1n+12n→+∞ 3

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

26 febbraio 2015

1 Serie di potenze

1.1 Stima di raggio e insieme di convergenza

Stabilire il raggio e l'insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze.

• 1. +∞ 2k + 1X 2k(x + 2)−(k 1) (k + 2)k=2
• 2. +∞ 2k + 1X k(x + 2)−(k 1) (k + 2)k=2
• 3. +∞ kk + (−1) k + 1X kxk + ln kk=1
• 4. +∞ k 2k+1(−1) xX 2k+1k! (k + 1)!2k=0
• 5. +∞X k−2 ln k k2 x2k=1
• 6. +∞X 2 k−(k + 6) (x 2)k=1
• 7. +∞ k −3k 2X kxk +1k=1
• 8. k+∞ −2 2 −x 2kX k(−1) k2k=0

1.2 Esercizio tratto da temi d'esame

Si consideri la serie di potenze +∞ kk + eX k−(x 1)3k + 1k=0 Determinare: r1. Il raggio di convergenza . I2. L'intervallo di convergenza .000f (1) f (x)3. , dove denota la somma della serie. 1

1.3 Esercizio tratto da temi d'esame

Si consideri la serie di potenze +∞ 1X k−(x 1)2k ln (k )k=2 Determinare: r1. Il raggio di convergenza . I2. L'intervallo di convergenza . 2

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani

27 febbraio 2015

1 Serie di potenze

Per tutti gli esercizi che richiedono il calcolo di raggio e insieme di convergenza delle serie il procedimento è il medesimo. Per gli esempi viene utilizzata la serie+∞ 1 (1.1)X k(x + 1)2kk=11. Si opera una sostituzione in modo tale che la serie si presenti nella forma (1.2)X ka yk Dove è un coefficiente che NON deve contenere la variabile della funzione , ma SOLO l