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Definizione di proporzione, proprietà delle proporzioni, risolvere una proporzione, grandezze direttamente e inversamente proporzionali, problemi con le proporzioni, problemi del tre semplice e problemi del tre composto, percentuali, problemi con le percentuali, problemi con gli sconti, problemi di cambio di moneta.
Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo, Proporzioni e percentuali
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
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6. Proporzioni e percentuali
1. Definzione di proporzione
Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti, pertanto si scrive come
a : b = c : d
a c
o equivalentemente: =
b d
Si legge “ sta a come sta a ”. I termini e si dicono estremi, i termini e si dicono
b c d a d b c
a e si dicono antecedenti, mentre e si dicono conseguenti.
medi. Inoltre i termini b d
a c ≠ .
Affinché la proporzione abbia un senso, deve risultare b , d 0
2. Proprietà delle proporzioni
Proprietà fondamentale. In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
⋅ ⋅
allora
Se a : b = c : d a d = b c
Proprietà del comporre. In una proporzione la somma fra il primo e il secondo termine sta al primo (o
al secondo), come la somma fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
+ + + +
( a b ) : a = ( c d ) : c ( a b ) : b = ( c d ) : d
a : b = c : d allora e
Se ≠ ≠
per la prima, per la seconda.
Purché a , c 0 b , d 0
In una proporzione la differenza fra il primo termine e il secondo sta al
Proprietà dello scomporre.
primo (o al secondo), come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
− − − −
allora
Se ( a b ) : a = ( c d ) : c e ( a b ) : b = ( c d ) : d
a : b = c : d
≠ ≠
a , c 0 b , d 0
per la prima, per la seconda.
Purché
Proprietà del permutare. Scambiando fra loro i medi e gli estremi di una proporzione si ottiene
ancora una proporzione. allora e
Se a : b = c : d a : c = b : d d : b = c : a
Proprietà dell'invertire. Data una proporzione, è ancora una proporzione valida quella ottenuta
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente.
allora
Se a : b = c : d b : a = d : c
3. Risolvere una proporzione
Quarto proporzionale è il quarto elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo
⋅
b c
= ⇒ =
a : b c : x x a
è il terzo elemento di una proporzione e si ricava nel seguente modo
Terzo proporzionale ⋅
a c
= ⇒ =
a : b x : c x b
In generale se l’elemento incognito è un medio occorre moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro
medio. Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo.
è l’elmento medio della proporzione, nel caso in cui i due elementi medi siano
Medio proporzionale
uguali, si ricava nel seguente modo =
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