Processi di radiazione (bremsstrahlung, sincrotrone, compton), Appunti esame Processi di radiazione & MHD

1 Processi di radiazione

Radiazione di una particella carica accelerata

La derivazione rigorosa della radiazione prodotta da una particella carica accelerata parte dalle equazioni di Maxwell e dalla scrittura dei potenziali ritardati per il campo elettrico e magnetico in un punto distante r dalla carica accelerata. ⃗ ⃗ ⃗jρE B

Si parte dalle Equazioni di Maxwell in presenza delle sorgenti per i campi e ( e ) che, nel sistema CGS, hanno la forma: ⃗ ⃗[1] ∇ ⋅ E = 4πρ [2] ∇ ⋅ B = 0⃗ ⃗e⃗ ⃗1 ∂ B 4π 1 ∂ E⃗[3] ∇ × E = − [4] ∇ × B = − j +c ∂t c c ∂t

Si introducono: ⃗ ⃗ ⃗⃗A = A ( r,⃗ t) B = ∇ × A

• Il potenziale vettore tale che ⃗⃗ 1 ∂ AE + = − ∇ϕϕ = ϕ( r,⃗ t)
• Il potenziale scalare tale che - c ∂t

⃗ ⃗E B Tali potenziali non sono univocamente determinati: infatti i campi e risultano essere invariati per le trasformazioni di gauge: ⃗ ⃗ 1 ∂ψA → A + ∇ψ ϕ → ϕ − ψ; dove =funzione scalare.c ∂t

⃗ 1 ∂ϕ∇ ⋅ A + = 0ψ Si sceglie in modo tale che sia soddisfatto il Gauge di Lorentz: c ∂t

Sotto queste condizioni si ha che i due potenziali soddisfano le equazioni: 21 ∂ ϕ 4π2∇ ϕ − = − ρec ∂t c2 2 ⃗⃗ 21 ∂ A 4π ⃗2∇ A − = − jc ∂t c2 2

Le soluzioni di queste equazioni sono i potenziali ritardati: ⃗ ⃗⃗ 3( )r ⃗ − r′ d r′| |∫ϕ( r,⃗ t) = ρ r′ , t − ⃗e c r ⃗ − r′| |Vol ⃗ ⃗⃗⃗ 3( )1 r ⃗ − r′ d r′| |∫ ⃗A ( r,⃗ t) = j r′ , t − ⃗c c r ⃗ − r′| |Vol P = P( r,⃗ t) r ⃗

I potenziali sono calcolati nel punto posto ad una distanza dall’origine del sistema di riferimento; ⃗⃗∫ 33q = ρ d r′ d r′l’integrale, invece, è effettuato sull’intera distribuzione di carica dove è l’elemento di volume posto e ⃗r′ad una distanza dall’origine del sistema di riferimento.

⃗r′r ⃗ t Il valore dei potenziali nel punto all’istante dipende dalle caratteristiche della sorgente che si trova nel punto t′ t′ tall’istante precedente . (tempo in cui valuto la sorgente) precede (tempo in cui calcolo i potenziali) solo per un ⃗ ⃗r′ r′r ⃗intervallo di tempo necessario alla luce per viaggiare da a .

Il senso è che l’informazione del punto ⃗(caratteristiche della distribuzione di carica) si propaga alla velocità finita della luce e, pertanto, i potenziali calcolati nel ⃗ r ⃗ − r′| |r′ t = t′ +r ⃗punto sono influenzati dalle condizioni del punto solo ad un tempo ritardato c

Potenziali di Liénard-Wiechart

Potenziali di Liénard-Wiechart: potenziali elettrodinamici di una particella carica che percorre un’arbitraria traiettoria dipendente dal tempo. ·⃗u = r ⃗ (t)r ⃗ = r ⃗ (t)

Consideriamo ora una carica q che si muove lungo una traiettoria con una velocità . La posizione 00della carica lungo la traiettoria è parametrizzata dal tempo t. r ⃗

Si ha che la distribuzione di carica e la densità di corrente, in un punto generico di osservazione (posizione della carica ad un tempo t) sono date da: ρ ( r,⃗ t) = qδ( r ⃗ − r ⃗ (t))e 0 ⃗⃗j( r,⃗ t) = q u (t)δ( r ⃗ − r ⃗ (t))0 2

Cioè alla particella carica puntiforme possiamo associare una densità di carica ed una ⃗ ⃗j( r,⃗ t) = j(r , r , r , t)“quadricorrente” ( è un quadrivettore) che costituiscono rispettivamente un campo scalare e un unx y zcampo vettoriale a valori nelle distribuzioni (-> le loro componenti sono elementi nello spazio delle distribuzioni e non nello spazio delle funzioni) a causa della presenza nella sua espressione della delta di Dirac.

δLa di Dirac ha la proprietà di localizzare istante per istante la posizione della carica e possiamo ad essa associare il significato di “densità di un punto”. {∞ ↔ r ⃗ = r ⃗0δ( r ⃗ − r ⃗ (t)) =Infatti, dalla definizione impropria della delta di Dirac: 0 0 ↔ r ⃗ ≠ r ⃗0

Cioè, associamo alla carica puntiforme (che possiamo approssimare ad una distribuzione di carica avente volume ⃗j( r,⃗ t)V → 0 ρ ( r,⃗ t)) una densità di carica ed una densità di corrente che saranno NULLE per tutti i punti NON ⃗e r ⃗ = roccupati dalla particella, e nel punto si avrà 0∫ ∫ 3q = qδ( r ⃗ )d r ⃗ = lim ρ ( r,⃗ t)d r ⃗eV→0 ⃗ ⃗∫ ∫ ⃗ 3q u = q u (t)δ( r ⃗ )d r ⃗ = lim j( r,⃗ t)d r ⃗V→0

r ⃗ t t′ t′I potenziali, calcolati nel punto all’istante dipendono dalle caratteristiche della particella al tempo precedente ( è t′ tdetto tempo ritardato in quanto “noi lo percepiamo ritardato” seppur precede ), quando la particella occupa la ⃗r′ = r ⃗ (t′) δposizione .

Introducendo la di Dirac i potenziali ritardati diventano: ⃗ ⃗0 ⃗ 3 ( )d r′ r ⃗ − r′| |∫ϕ( r,⃗ t) = ρ ( r′ , t′) δ t′ − t + d t′ ⃗e cr ⃗ − r′| | ⃗ ⃗⃗⃗ 3 ( )1 d r′ r ⃗ − r′| |∫ ⃗A ( r,⃗ t) = j( r′ , t′) δ t′ − t + d t′ ⃗c cr ⃗ − r′| |

Inserendo le definizioni di densità di carica e di corrente, gli integrali di volume diventano integrali sul tempo lungo la traiettoria: ( )r ⃗ − r ⃗ (t′)1 | |∫ 0ϕ( r,⃗ t) = q δ t′ − t + d t′r ⃗ − r ⃗ (t′) c| |0 ⃗⃗ ( )r ⃗ − r ⃗ (t′)q u (t′) | |∫ 0A ( r,⃗ t) = δ t′ − t + d t′c r ⃗ − r ⃗ (t′) c| |0 ⃗r ⃗ (t′) = r′dove 0 P = P( r,⃗ t)

NB: è come se l’osservatore “vedesse” la particella in quando essa ha già oltrepassato tale punto -> i P = P( r,⃗ t)potenziali misurati in non dipendono quindi dalle caratteristiche “attuali” della particella (la quale è già andata “oltre”) ma dalle caratteristiche della particella ad un tempo “precedente”, quando la particella occupava un punto ⃗P′ = P′( r′ , t′)“precedente” .

⃗ ⃗r ⃗ − r ⃗ (t′) = R (t′) → r ⃗ − r ⃗ (t′) = R (t′) = R(t′)| | | |Ponendo 0 0

I potenziali diventano ( )1 R(t′)∫ϕ( r,⃗ t) = q δ t′ − t + d t′R(t′) c ⃗ ( )⃗ q u (t′) R(t′)∫A ( r,⃗ t) = δ t′ − t + d t′c R(t′) c

δ t′ = t Si noti che l’argomento della di Dirac si annulla per un valore del tempo ritardato dato da retc (t − t ) = R(t ).ret ret R(t′)t′ → t′′ = t′ − t +Cambio di variabile c1 ·d t′′ = d t′ + R(t′)d t′c 3

⃗ ⃗2R (t′) = R (t) ⋅ R (t)Si consideri ora l’identità: · · ·⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗·2R(t′) R(t′) = R (t) ⋅ R (t) + R (t) ⋅ R (t) = 2 R (t) ⋅ R (t)t′derivando rispetto a si ha: ⃗ ⃗da cui si ricava che · ·⃗ ⃗R (t) 1 R (t)·R(t′) = ⋅ R (t) d t′′ = d t′ + ⋅ R (t)d t′.

Allora R(t′) c R(t′) ⃗ · ·⃗ ⃗u = r ⃗ (t) → r ⃗ (t′) = u (t′)R (t′) = r ⃗ − r ⃗ (t′)Dalla definizione e tenendo presente che si ha che 0 00 · ⃗ ⃗R (t′) = − u (t′) [vettore velocità, tangente in ogni punto alla traiettoria]

⃗R̂n =Introducendo il vettore unitario [esprime la direzione del punto di osservazione, cioè la direzione del punto RP = P( r,⃗ t) , rispetto alla posizione della carica, in cui calcolo i potenziali].

1 ⃗̂d t′′ = [1 − n(t′) ⋅ u (t′)]d t′Pertanto l’incremento può essere scritto c1d t′ = d t′′ ⃗da cui si ricava che 1 ̂[1 − n(t′) ⋅ u (t′)]c

Allora i potenziali diventano:1 1∫ϕ( r,⃗ t) = q δ(t′′) d t′′ ⃗R(t′) 1 ̂[1 − n(t′) ⋅ u (t)]c ⃗⃗ q u (t′) 1∫A ( r,⃗ t) = δ(t′′) d t′′ ⃗c R(t′) 1 ̂[1 − n(t′) ⋅ u (t)]c R(t′)δ t′′ = 0 t′ = t = t −La funzione può essere integrata se , cioè se rec c

Si ottengono i Potenziali di Liénard-Wiechart: qϕ( r,⃗ t) = R(t )κret ret ⃗⃗ q uA ( r,⃗ t) = cR(t )κret ret

Tali potenziali differiscono dal caso statico per due motivi:

• 1) La presenza del termine 1 ⃗̂κ = 1 − n(t′) ⋅ u (t′) ret c ⃗ κu = 0 → κ = 0Nel caso elettrostatico, infatti, la particella è ferma . Il termine diventa predominante a velocità retretrelativistiche, tendendo a concentrare i potenziali in uno stretto cono nella direzione di avanzamento della carica (effetto ⃗ ⃗̂n(t′) ⋅ u (t′) ubeaming) -> il prodotto scalare proietta i potenziali lungo la direzione della velocità della particella.
• 2) Le quantità k = 0 → ∄t devono essere tutte valutate ad un tempo ritardato [nel caso elettrostatico i potenziali ret retritardati -> nel caso elettrostatico, i potenziali sono statici e non cambiano in funzione del tempo]. La principale conseguenza del ritardo è che rende possibile alla particella irradiare.

−1R Si noti che i potenziali decrescono approssimativamente come di modo che se si differenziasse, per calcolare i ⃗ ⃗ −2E B R campi e , si troverebbe che questi decrescono come , se la differenziazione agisse esclusivamente sul fattore R(t′)−1 t′ = t = t −R .

Ma la presenza del ritardo, cioè del termine , introduce nell’espressione dei potenziali un rec c ⃗ ⃗ −1R(t′) E B Raltro fattore e questo fa sì che, differenziando, si trovi che i campi e decrescono come -> in qualche modo, la presenza del ritardo “smorza” la decrescita dei campi ed è proprio questo che permette all’energia della radiazione di fluire a distanze infinite 4

Campo di radiazione

⃗ campo di radiazione ⃗ ⃗u ⃗β = k = 1 − u ⋅ βPoniamo, per semplificare la notazione, ec ⃗r (t )tDifferenziando i potenziali, noti il tempo ritardato e la posizione ritardata della particella, si calcolano i campi 0 recrecP = P( r,⃗ t)nel punto : ⃗ ( )·⃗ ⃗2⃗ ⃗ ⃗ [ ] [ ]̂(n− β )(1 − β ) q 1 ̂ ̂q n × (n− β ) × βE ( r,⃗ t) = E ( r,⃗ t) + E ( r,⃗ t) = +R θ k R c k R3 2 3 ⃗ ⃗̂B ( r,⃗ t) = n × E ( r,⃗ t)

tAl tempo la particella si trova in un qualche punto della sua traiettoria, ma solo le condizioni al tempo ritardato determinano i campi nel punto al tempo t.

Il campo elettrico è costituito da due componenti:

• 1. Campo di velocità ⃗ 2⃗ [ ]̂(n− β )(1 − β )qE ( r,⃗ t) = R k R3 221/RDecresce come ed è semplicemente una generalizzazione della legge di Coulomb per cariche in movimento: per ⃗ ⃗ ⃗ q⃗ ⃗ ̂uβ k = 1 − u ⋅ β → 1 nc E ( r,⃗ t) =<< 1, cioè per << , si ha che e si ottiene legge di Coulomb .R R 2

Il campo di velocità è il solo termine che contribuisce al campo elettrico quando la particella si muove con velocità ⃗costante. In questo caso il campo elettrico punta sempre verso la direzione dell’ATTUALE posizione della particella, ̂(n− β )indicata con . P = P( r,⃗ t)

Questo deriva dal fatto che la distanza tra il punto in cui calcolo il campo e il “punto ritardato” (posizione ⃗⃗ ̂ ̂r (t ) (t − t )R ( r,⃗ t) = nR(t ) = nc (t − t )della particella al tempo ritardato) è , dove è il tempo di 0 rec rec rec recpropagazione della luce.

⃗⃗u (t − t ) = β c (t − t )Nello stesso intervallo di tempo, la particella subisce uno spostamento rec rec

Così, la distanza tra il punto in cui calcolo il campo e la posizione attuale della particella è ⃗̂(n− β )c (t − t )ret ( )·⃗ ⃗⃗ [ ]q 1 ̂ ̂n × (n− β ) × βE ( r,⃗ t) =

• 2. Campo di accelerazione θ c k R3 · ⃗ ̂β1/R nDecresce come , è proporzionale all’accelerazione della particella ed è perpendicolare a .

⃗ ⃗ ⃗A grandi distanze dalla carica accelerata sopravvive solo il campo di accelerazione ̂E ( r,⃗ t) B ( r,⃗ t) = [n × E ( r,⃗ t)]Campo di accelerazione e corrispettivo campo magnetico costituiscono il CAMPO ⃗ ⃗θ θ θE = B| | | |DI RADIAZIONE di una carica accelerata: i loro moduli sono legati dalla relazione θ θ

⃗ENB) La radiazione emessa da una particella carica accelerata è polarizzata: il campo elettrico della radiazione θ· ⃗̂ ̂n × (n × β )non ha una direzione casuale ma ben definita da ⃗ ⃗ ̂nE BInoltre, - - costituiscono una terna destra di vettori mutuamente ortogonali.θ θ

Configurazione delle linee di campo elettrico

La figura mostra geometricamente in che modo un’accelerazione può generare 1/Run campo trasversale che diminuisce come .

Consideriamo una carica q, stazionaria, nell’origine O di un sistema di riferimento inerziale S al tempo t=0. Supponiamo che la carica subisca una Δulieve accelerazione (piccola variazione di velocità ) in un piccolo intervallo di Δttempo

Dopo un certo tempo t, possiamo distinguere tra la configurazione del campo 5r = c tall'interno e all'esterno di una sfera di raggio centrata nell'origine di S, ricordando che i disturbi elettromagnetici vengono propagati alla velocità della luce nello spazio libero.

Configurazione delle linee di campo elettrico:

• Al di fuori della sfera, il campo è radiale e punta verso la posizione O in cui la particella sarebbe stata se non ci fosse stata accelerazione, in quanto, a questa distanza, l’”informazione” che la particella è stata accelerata non si è ancora propagata non potendo questa viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce -> per un osservatore posto ad R > cuna distanza la particella non ha ancora subito un’accelerazione ed è ancora in quiete: pertanto, genera un 21/Rcampo Coulombiano che decresce come .
• All'interno di questa sfera (nei punti interni l’informazione relativa alla perturbazione del campo è già giunta) le linee di campo sono ancora radiali ma centrate nell'origine di un nuovo sistema di riferimento che è solidale con la carica in movimento -> il campo all’interno del raggio punta verso la direzione reale della particella.

R = c tDall’immagine si può vedere che la zona di transizione tra i due campi, delimitata dalla sfera di raggio , si cΔtpropaga verso l’esterno identificando un sottile guscio di spessore . In questo guscio sferico esiste una componente Edel campo elettrico trasversale che collega i due campi radiali situati all’esterno e all’interno della sfera: tale θcomponente del campo elettrico è molto più intensa rispetto ai due campi radiali, in quanto le linee di campo sono più fitte E 1/R

Ulteriori argomenti geometrici possono essere usati