Problemi di matematica generale

N. Magnarelli – Problemi di matematica generale

Nazario Magnarelli

Problemi di matematica generale

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Indice

Prefazione ........................................................................................... 5

Geometria piana ...................................................................................... 6

1. Triangolo rettangolo circoscritto ad una circonferenza .................. 7

2. Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza .............. 9

3. Punto intersezione delle diagonali di un trapezio scaleno ............ 11

Geometria solida ................................................................................... 14

4. Sulla diagonale di un parallelepipedo retto ................................... 15

5. Fusione di un blocco di stagno a forma di piramide ..................... 16

6. Piramide retta avente per base un rombo ...................................... 17

7. Piramide regolare quadrangolare con elementi assegnati ............ 18

8. Piramide retta a base circoscritta ad un cerchio ............................ 19

9. Piramide sovrapposta ad un prisma retto ...................................... 20

10. Cono sovrapposto ad un cilindro ................................................ 21

11. Tronco di piramide quadrangolare regolare ................................ 22

12. Maturità magistrale giugno 1994 ............................................... 23

13. Maturità scientifica, anno 1995 .................................................. 25

Goniometria .......................................................................................... 27

14. Funzioni goniometriche inverse .................................................. 28

15. Prima identità goniometrica ........................................................ 30

Progressioni........................................................................................... 32

16. Progressioni aritmetiche.............................................................. 33

17. Progressioni geometriche ........................................................... 34

18. Problema su una progressione geometrica .................................. 36

19. Problema su una progressione geometrica .................................. 38

Analisi matematica................................................................................ 41

20. Primi limiti .................................................................................. 42



21. Limite di una funzione per x ............................................ 46

x o

22. Limiti notevoli di forme algebriche indeterminate .................. 48

23. Studio di un particolare problema differenziale.......................... 50

24. Limite I di una forma indeterminata ......................................... 55

25. Limite II di una forma indeterminata ........................................ 56

26. Limite III di una forma indeterminata ...................................... 57

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27. Limite IV di una forma indeterminata ....................................... 57

28. Limite V di una forma indeterminata........................................ 58

 

29. Limite di una funzione per x ........................................... 59

30. Calcolo elementare della derivata di una funzione ..................... 60

31. Cono di sup. laterale minima circoscritto ad una sfera ............... 61

32. Punti estremanti di una funzione parametrica razionale ............. 67

33. Integrale di una particolare forma indeterminata ........................ 70

34. Altro integrale notevole .............................................................. 74

35. Punti estremanti di una parabola cubica ..................................... 77

Calcolo combinatorio ............................................................................ 80

36. Disposizioni semplici e permutazioni ......................................... 81

37. Combinazioni semplici ............................................................... 84

Curve nel piano ..................................................................................... 87

38. Centro di curvatura ed evolvente di una curva ........................... 88

39. Asintoti curvilinei ...................................................................... 91

Asintoti parabolici .......................................................... 92

Asintoti cubici..................................................................... 92

40. Problema geometrico. ................................................................. 96

41. Studio di quartica bicircolare .................................................... 100

42. Altra quartica bicircolare .......................................................... 104

43. Ricerca dell’equazione polare di una quartica .......................... 108

44. Teoria su tacnodi e cuspidi di specie superiore ........................ 113

a

45. Esercizio 7R (L’origine O è un tacnodo di 2 specie) ....... 115

46. Applicazioni delle trasformazioni per raggi vettori reciproci ... 124

47. Ancora sulla trasformazione per raggi vettori reciproci ........... 127

48. Equazioni parametriche della cardioide .................................... 131

49. Involuzione dei diametri coniugati di una conica ..................... 132

50. Costruzione dei diametri coniugati di una conica ..................... 135

51. Approfondimenti sul primo teorema di Steiner-Chasles .......... 137

52. Altra dimostrazione del teorema di Pascal............................... 142

53. Centro di collineazione di due fasci proiettivi di rette .............. 144

Problemi storici ................................................................................... 146

54. Concoide del cerchio o Lumaca di Pascal .............................. 147

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55. Su un problema di Apollonio .................................................... 149

56. La trisettrice di Ippia ................................................................. 152

57. Trisezione di un angolo: altra dimostrazione ............................ 158

Equazioni di terzo grado ..................................................................... 160

58. Teoria delle equazioni di terzo grado ........................................ 161

59. Equazione di terzo grado con discriminante positivo ............. 163

60. Equazione di terzo grado con discriminante nullo .................... 164

61. Equazione di terzo grado con tre radici reali .......................... 165

L’equazione di terzo grado nel “casus irriducibilis”

62. ............... 168

63. Risoluzione grafica delle equazioni di terzo grado ................... 172

Problemi vari ....................................................................................... 174

64. Un problema sulle età di due persone ....................................... 175

65. Il problema del cane e della lepre ............................................. 176

66. Quando si viaggiava in carrozza ............................................... 178

67. Un problema sull’uso delle frazioni .......................................... 182

68. Un problema difficile per la Camera dei Comuni .................... 184

69. Problema del trifoglio .............................................................. 185

70. Problema sul numero dei polli, galline e pulcini ...................... 187

71. Le età di tre persone .................................................................. 189

72. Somma dei primi n numeri triangolari .................................. 190

73. Problema sulle politropiche ...................................................... 191

Fisica ................................................................................................... 195

74. Esercizi sui moti relativi. .......................................................... 196

75. Moto rettilineo uniforme visto da una piattaforma ruotante ..... 202

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Prefazione

In questo volume sono esposti numerosi problemi di matematica generale, dall’analisi matematica alla geometria del piano, alla geometria solida, alle curve, alla geometria proiettiva. Per la storia della matematica si è dato ampio spazio alla risoluzioni delle equazioni di terzo grado, ma anche a problemi classici dell’antichità. Completano il libro alcuni classici problemi di applicazione a situazioni reali.

Lo scrivente propone questi argomenti come stimolo per lo studio della Disciplina e come repertorio di regole e procedimenti matematici da tenere sempre presenti.

Nazario Magnarelli

Latina, Ottobre 2010 5

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Geometria piana

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1. Triangolo rettangolo circoscritto ad una circonferenza

Determinare i cateti di un triangolo rettangolo ABC, circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r, sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa è

12



(fig. 9).

AH r

5

Siano rispettivamente S, T ed L i punti di tangenza della circonferenza con i cateti AB, AC e con l’ipotenusa BC.

   

BS BL x

Poniamo, ; quindi

CL CT y

    .

BC BL LC x y   

AS AT OT r

Ovviamente.

Per il Teorema di Pitagora si ha:

2 2 2 

      

2 2 2

BC AB AC

(1),.

(x y) (x r) (y r)

Svolgendo i quadrati e semplificando subito si trova

   2

(2).

xy xr yr r 7

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Per il doppio dell’area del triangolo rettangolo si ha la formula:

      

   (x r) (y r) (x y) (12 5)r

AB AC BC AH

(3),.

12

     

2

Da cui (4).

xy xr yr r (x y) r

5

Tenendo conto della (2), la (4) diventa

12 6

    

, ossia (5).

2xy (x y)r xy (x y)r

5 5

Se ora riprendiamo la (2) e sostituiamo in essa l’espressione del prodotto dato dalla (5) si ha:

xy

6 6



       

2

(6),, e

(x y)r xr yr r (x y) (x y) r

5 5

quindi  

(7).

x y 5r  2

Sostituendo la (7) nella (5) si ha: (8).

xy 6r

Abbiamo quindi trovato il sistema risolvente

 

 x y 5r



(9) 

 2

xy 6r.  

Esso ha le soluzioni simmetriche,

x 2r y 3r

 

x 3r

e,.

y 2r

Limitandoci a prendere la prima soluzione, rispondente alla fig. 10, si ha  

AB 3r AC 4r

,. 8

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2. Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza

Un triangolo isoscele ABC è circoscritto ad una semicirconferenza di centro O, raggio 12a ed avente il diametro interno alla base AB del triangolo; il lato CB è tangente in T alla semicirconferenza.

2

Sappiamo inoltre che l’area S del triangolo è 300 a. Determinare l’altezza e i lati obliqui del triangolo (Fig. 10).

Determinare il perimetro del trapezio che si ottiene intersecando il triangolo con la retta tangente alla semicirconferenza e parallela alla base AB del triangolo. OT

Soluzione. Il raggio della semicirconferenza è perpendicolare al lato CB nel punto T. Possiamo trovare l’area S del triangolo ABC scrivendo

2

300a

 

  



CB OT S CB 25a

(1),, (lato

CB 12a

obliquo). 9

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



Ora, posto e, per il secondo teorema di Euclide si ha:

TC y

BT x 2  

OT BT TC

(2).

Abbiamo quindi il sistema risolvente:

 



 x y 25a



(3)  

 2

x y 144a.

   

x BT 9a

Si ricava,.

y RC 16a

Infine, applicando il teor. di Pitagora al triangolo OTC, rettangolo in T, possiamo trovare la l’altezza OC del triangolo ABC. Si ha:

2 2

     

2 2 2

(4) OC OT CT (12a) (16a) 400a 20a

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3. Punto intersezione delle diagonali di un trapezio scaleno

Vediamo un problema di geometria piana che trovai molto interessante agli inizi della mia carriera di insegnante.

È dato un trapezio scaleno ABCD; le misure della maggiore e della base minore sono rispettivamente

 

AB a e CD b

Dal punto di intersezione O delle diagonali AC e BD si conduca la parallela alle due basi e siano M ed N i punti di intersezione con i lati obliqui del trapezio (fig. 5-7). Si trovi la misura della corda MN in funzione di a e b.

Dalla similitudine dei triangoli (DOC) e (AOB) si ha la proporzione

b DO

 

DC : AB DO : OB, cioè (1).

a OB

Dalla similitudine dei triangoli (DMO) e (DAB) si ha la proporzione

m DO



1

(2).

a DB 11

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Dalla similitudine dei triangoli (BDC) e (BON) si ha la proporzione

b BD



(3).

n BO

1

Moltiplicando membro a membro le eguaglianze (2), (3) si ha

m

b DO

m b DO BD  

   1

1, da cui (4).

a n

a n BO

BO

DB 1

1 b DO



Ricordiamo che per la (1) si ha;

a OB

m

DO DO

 

1

sostituendo nella (4) si ha: (5).

n

OB BO

1

m  

1

Dalla (5) si ottiene, cioè (6), ossia

1 m n

1 1

n

1



MO ON,

e questo risultato è già di per sé notevole.

b BD



Riprendendo la (3) si ha:,

n BO

1



b BO OD b OD

  

1

da cui, cioè (7).

n n

BO

1 1

OD b



Ma come abbiamo visto dalla (1) si ha;

a

BO

sostituendo nella (7) si ottiene:



b b b a b

  

e da questa si ricava (8).

1

n a n a

1 1 12

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Prendendo i reciproci di ambo i membri della (8) si ha:

n a ab

 

1, cioè.

n

 

1

b a b a b

  

MN m n 2n

Poiché, si ottiene infine:

1 1 1 2ab

.

MN 

a b 13

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Geometria solida

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4. Sulla diagonale di un parallelepipedo retto

È dato un parallelepipedo retto a base rettangolare: il lato maggiore di base è lungo 36 cm. Sappiamo inoltre che il rapporto fra la diagonale di base e la diagonale maggiore del parallelepipedo è uguale a

15 17

mentre la somma delle loro misure è uguale a cm 96.

Determinare l’area

1) della superficie totale e il volume del solido.

   

2 3 3 6 5

(St cm 4968, V cm 23.328 cm 3 2).

2) Determinare, infine, l’area laterale del cubo equivalente a 1 4 del parallelepipedo dato.

[Suggerimento: posto x = misura della diagonale di base e y = misura della diagonale maggiore del solido, possiamo scrivere la proporzione

.

x : y 15 :17  

Sapendo che, applicando a questa la regola del comporre si

x y 96

 

trova x 46 cm, y 51cm]. 15

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5. Fusione di un blocco di stagno a forma di piramide

Un blocco di stagno ha la forma di piramide regolare a base quadrata.

2

L’area della superficie totale del blocco è uguale a 1800 cm mentre il rapporto tra la superficie di base e la superficie laterale del solido è

8 17

uguale a.

Esso viene fuso per formare due cilindri retti uguali, aventi ognuno la circonferenza di cm 31,4. Sapendo che nella fusione vanno perduti

3 e l’area laterale di

238 cm di stagno, determinare la misura dell’altezza

ciascun cilindro.  

NOTARE. Per facilitare i calcoli si è posto.

3,14 16

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6. Piramide retta avente per base un rombo

Un solido ha la forma di una piramide retta avente per base un rombo: ricordo anzitutto che una piramide si dice retta quando ha per base un poligono circoscrittile ad un cerchio e l’altezza della piramide cade nel centro di questo (fig. 4).

Sappiamo che l’area della superficie totale della piramide è uguale a

2

cm 1875, mentre il rapporto fra la superficie di base e la superficie laterale è

8

uguale a; la diagonale

17

minore del rombo, inoltre, è lunga cm 30.

Si calcoli il volume del solido e il suo peso, sapendo che il materiale di cui esso è costituito ha il peso specifico uguale a.

g

2, 4 3

cm

Si calcoli anche l’area laterale del cono inscritto nella piramide. 17

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7. Piramide regolare quadrangolare con elementi assegnati

quadrangolare regolare l’altezza è uguale 12 13

In una piramide ai dell’apotema e la somma delle loro misure è uguale a dm 80 (fig. 3).

Calcolare a) la misura del lato di base, il volume e l’area della superficie totale della piramide; b) l’area della superficie totale di un parallelepipedo retto a base quadrata, di ugual volume, la cui altezza misura dm 12,8. 18

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