Problema di geometria da risolvere con un sistema di primo grado

Determinazione dei lati del triangolo

1. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53 cm, inoltre la misura z differisce di 19 cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11 cm dalla differenza tra y e z.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

Considerando le informazioni forniteci dal problema, possiamo impostare un sistema a tre incognite.

La prima equazione sarà x + y + z = 53, poiché sappiamo che il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei suoi lati, è di 53 cm.

Il problema dice poi che la misura z differisce di 19 cm dalla somma delle altre due misure; tenendo presente che in un triangolo ogni lato è sempre minore della somma degli altri due, impostiamo la seconda equazione: (x + y) − z = 19;

allo stesso modo, tenendo presente che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due, possiamo scrivere che x − (y − z) = 11.

Quindi abbiamo

x + y + z = 53

(x + y) − z = 19

x − (y − z) = 11

x + y + z = 53

x + y − z = 19

x − y + z = 11

Ricaviamo l'incognita x dalla prima equazione, e sostituiamola alla seconda:

x = 53 − y − z

x + y − z = 19

x − y + z = 11

x = 53 − y − z

(53 − y − z) + y − z = 19

x − y + z = 11

x = 53 − y − z

53 − y − z + y − z = 19

x − y + z = 11

x = 53 − y − z

−2z = 19 − 53

x − y + z = 11

x = 53 − y − z

z = (19 − 53) / −2 = −34 / −2 = 17

x − y + z = 11

Abbiamo quindi trovato la lunghezza di un lato. Sostituiamo questo valore alle altre due equazioni, in modo da ottenere un sistema a due incognite.

x = 53 − y − 17

z = 17

x − y + 17 = 11

x = 36 − y

x − y = −6

Ricaviamo la x dalla seconda equazione e risolviamo il sistema con il metodo del confronto:

x = 36 − y

x = −6 + y

36 − y = −6 + y

36 + 6 = y + y

42 = 2y

y = 42 / 2 = 21

Sostituiamo questo valore ad una delle due equazioni:

x = 36 − 21 = 15

Le lunghezze dei tre lati sono quindi 15 cm, 21 cm e 17 cm.