Compito classe II liceo scientifico: sistemi, radicali, problemi, equiestensione

Verifica di matematica, classe III liceo scientifico

Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione

1. 5x - y = 2
2x + 3y = -1
Risolvere con il metodo di Cramer.

2. 2x = 1 + 3y
-y - 2x = 3
Risolvere con il metodo di riduzione.

3. 2/(x - 2) = 3/(y - 3)
1/(y + 3) = -1/(2 - x)
Risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53 cm, inoltre la misura z differisce di 19 cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11 cm dalla differenza tra y e z.

5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30 kg di gelato. Vende i coni da due palline a 1,50 e i coni da tre palline a 2,00. Si sa che da 2 kg di gelato si fanno 25 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 257,50. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto?

6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli, due dei quali sono equiestesi.

7. sqrt(x(x - 1)/(x - 4)): determina le condizioni di esistenza.

8. cuberoot((ax + a)/(x² + 2x + 1)) sqrt((x² - 2x + 1)/(ax - a))

9. (sqrt(5) - 2)² - (2sqrt(5) + 3)² + [(sqrt(5) - sqrt(2))² + 1](sqrt(5) + sqrt(2))

10. ab/cuberoot(4a²b³x); sqrt(2)/(3 - sqrt(2)); 1/(sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(5)): razionalizza.

11. (x + sqrt(2))² - (x + sqrt(3))² = 6
Risolvi l'equazione.

12. Nel triangolo rettangolo ABC, l'altezza relativa all'ipotenusa è AH.

a) Se BC = 12 cm e AH = 4 cm, calcola il perimetro del triangolo ABC.

b) Se AH = 12 cm e il perimetro di ABH = 36 cm, calcola l'area del triangolo ABC.

13. kx - 4ky = -1
kx - k²x = 0

Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

1. Sistema risolto con il metodo di Cramer

{ 5x - y = 2
2x + 3y = -1 } Risolvere con il metodo di Cramer.

Svolgimento

D_x = | 2   -1 |
| -1   3 | = 2 × 3 - [(-1) × (-1)] = 6 - 1 = 5

D_y = | 5   2 |
| 2   -1 | = 5 × (-1) - 2 × 2 = -2 - 4 = -9

D = | 5   -1 |
| 2   3 | = 5 × 3 - 2 × (-1) = 15 + 2 = 17

x = D_x / D = 5 / 17      y = D_y / D = -9 / 17 = -9 / 17

2. Sistema risolto con il metodo di riduzione

{ 2x = 1 + 3y
-y - 2x = 3 } Risolvere con il metodo di riduzione.

Svolgimento

{ 2x - 3y = 1
-2x - y = 3 }

Sommando membro a membro, si ottiene il valore della y:

2x - 3y = 1
-2x - y = 3
0    -4y   =   4

y = 4 / -4 = -1

Sostituiamo questo valore della y alla prima equazione:

2x = 1 + 3 × (-1)

2x = 1 - 3

2x = -2

x = -2 / 2 = -1

3. Sistema con frazioni algebriche

2/(x - 2) = 3/(y - 3)

1/(y + 3) = -1/(2 - x)

Risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

Svolgimento

Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza:

x - 2 != 0, quindi x != 2

y - 3 != 0, quindi y != 3

y + 3 != 0, quindi y != -3

2 - x != 0, quindi -x != -2, quindi x != 2

C.E.: x != 2 e y != +/-3

Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma normale.

2/(x - 2) = 3/(y - 3), 2/(x - 2) - 3/(y - 3) = 0, [2(y - 3) - 3(x - 2)]/[(x - 2)(y - 3)] = 0

Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore.

2(y - 3) - 3(x - 2) = 0, 2y - 6 - 3x + 6 = 0, 2y - 3x = 0

Passiamo ora alla seconda equazione:

1/(y + 3) = -1/(2 - x), 1/(y + 3) + 1/(2 - x) = 0, [(2 - x) + (y + 3)]/[(y + 3)(2 - x)] = 0

Anche qui possiamo eliminare il denominatore:

(2 - x) + (y + 3) = 0, 2 - x + y + 3 = 0, -x + y + 5 = 0

Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute:

2y - 3x = 0

-x + y + 5 = 0

3x - 2y = 0

x - y - 5 = 0

Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un'incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:

3x - 2y = 0

x = y + 5

Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima:

3 x (y + 5) - 2y = 0, 3y + 15 - 2y = 0, y = -15

Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni:

x = -15 + 5 = -10

I valori che soddisfano il sistema sono quindi x = -10 e y = -15.