Compito in classe II liceo scientifico sistemi, radicali, equiestensione

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Verifica di matematica, classe II liceo scientifico.

Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione.

1. Sistemi

 



1. 5 x y 2 risolvere con il metodo di Cramer.

  

 2 x 3 y 1

 



2. 2 x 1 3 y risolvere con il metodo di riduzione.

   

 y 2 x 3

 2 3



  

3.  x 2 y 3 risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

 1 1

 

  

 y 3 2 x

2. Problemi con sistemi

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z.

5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a € 1,50 e i coni da tre palline a € 2,00. Si sa che da 2kg di gelato si fanno 25 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 257,50€. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto?

3. Equiestensione

6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi.

4. Radicali ed equazioni

 



7. x x 1 determina le condizioni di esistenza.



x 4

  

2

ax a x 2

x 1



3

8.   

2

x 2 x 1 ax a

 

       

2 2 2

     1 

5 2 2 5 3 5 2 5 2

 

9.  

ab

10. 2 1

2 3

4 4 a b x ; ; razionalizza.

  

3 2 2 3 5

    

2 2

   

11. x 2 x 3 6 risolvi l’equazione.

5. Geometria

12. Nel triangolo rettangolo ABC, l’altezza relativa all’ipotenusa è AH.

a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC.

b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l’area del triangolo ABC.

6. Discussione di un sistema parametrico

  

 kx 4 ky 1



13.  

2

 kx k x 0

Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

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Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

1. Risolvere con il metodo di Cramer

 



5 x y 2

1. risolvere con il metodo di Cramer.

   

 2 x 3 y 1 Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

1

2  

   

    1  1  1 

D 2 3 6 5

1

x 3

5 2  

   1    2   9

D 5 2 2 4

1

y 2

 1

5  

     1   

D 5 3 2 15 2 17

2 3

 9

D 9

D 5 y

  

 

x y

x D 17 17

D 17

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2. Risolvere con il metodo di riduzione

 

 2 x 1 3 y

2. risolvere con il metodo di riduzione.

   

 y 2 x 3 Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

  

2x 3y 1



2x  

y 3



Sommando membro a membro, si ottiene il valore della y.

 

2x 3y 1

2x  

y 3

 4 

0 y 4

4

  1

y 4

 Sostituiamo questo valore della y alla prima equazione:

 

  1

2x 1 3

  

2x 1 3

 2

2x 2

  1

x 2

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3. Risolvere tenendo conto delle C.E.

 2 3



  

 x 2 y 3

3. risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

 1 1

 

  

 y 3 2 x Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza:

   

x 2 0 x 2

   

y 3 0 y 3

    3

y 3 0 y

   x  2  

2 x 0 x 2

  3

C.E.: x 2 y

Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma normale.

    

  

2 y 3 3 x 2

2 3 2 3

     

0 0

  

     

 x 2 y 3 x 2 y 3 x 2 y 3

Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore.

   

           

2 y 3 3 x 2 0 2 y 6 3 x 6 0 2 y 3 x 0

Passiamo ora alla seconda equazione:

   

  

2 x y 3

1 1 1 1

     

0 0

  

     

y 3 2 x y 3 2 x y 3 2 x

Anche qui possiamo eliminare il denominatore:

   

             

2 x y 3 0 2 x y 3 0 x y 5 0

Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute:

   

 

2 y 3 x 0 3 x 2 y 0



 

      

 

x y 5 0 x y 5 0

Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un’incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:

  

3x 2y 0

  

x y 5



Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima:

 

          

3 y 5 2 y 0 3 y 15 2 y 0 y 15

Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni:

 15   10

x 5

I valori che soddisfano il sistema sono quindi x=-10 e y=-15.

Questi valori sono accettabili, perché non sono fra quelli esclusi nelle condizioni di esistenza.

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4. Problema sui lati di un triangolo

4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci.

Considerando le informazioni forniteci dal problema, possiamo impostare un sistema a tre incognite.   

La prima equazione sarà, poiché sappiamo che il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei suoi lati, è di 53cm.

z y z 53

Il problema dice poi che la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure; tenendo presente che in un triangolo ogni lato è sempre minore della somma degli altri due,

  

  19

impostiamo la seconda equazione: ;

x y z

allo stesso modo, tenendo presente che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due,

 

  11

altri due, possiamo scrivere che .

x y z

Quindi abbiamo 

   

x y z 53



 

   

x y z 19 

  

  

x y z 11



   

x y z 53



   

x y z 19



   

x y z 11



Ricaviamo l’incognita x dalla prima equazione, e sostituiamola alla seconda: