Principi di misure

Architettura generale di uno strumento di misura

Un generico strumento di misura è descritto da uno schema funzionale a blocchi denominato configurazione generalizzata di uno strumento di misura. Un'efficace rappresentazione funzionale di uno strumento di misura sfrutta il cosiddetto approccio 'ingresso-uscita, in-out', nel quale i blocchi si susseguono in serie, dove l'uscita di un blocco costituisce l’ingresso al blocco successivo.

1° stadio

Y=F(X) Avviene il legame funzionale tra misurando e segnale di misura sfruttando un principio fisico definito — Monotona/continua e derivabile/la derivata deve essere continua:

• Lineare → y=ax+b
• Logaritmica → y=a+b*ln(x)
• Esponenziale → y=a+e^x*k

Campo di misura: l’intervallo di valori all’interno del quale può variare il misurando in modo che la misura avvenga con prestazioni meteorologiche definite (y=f(x) assume valori definiti). È delimitato tra la MDQ (minima quantità del misurando in grado di innescare una misurazione diversa da zero) e il fondo scala superiore.

Sensibilità: rappresenta il rapporto tra la variazione della grandezza in ingresso (misurando) e la variazione del segnale di misura. È la tangente nel punto alla curva caratteristica.

Soglia di sensibilità: minima variazione del dx che produce una corrispondente variazione di dy.

Risoluzione: capacità del sensore di misura di rilevare piccole variazioni del misurando.

Interazione sensore-misurando: impossibilità di effettuare una misurazione esatta in quanto l’atto stesso della misurazione modifica il misurando stesso.

Interazione sensore-ambiente di misura: l’ambiente porta a far interagire il sensore con grandezze fisiche diverse dal misurando.

Esempi di sensori

• Capacitivi: si basano sulla capacità elettrica tramite condensatori sfruttando la variazione prodotta dal misurando su uno dei parametri dell’equazione della capacità (C= ε*S/d). I condensatori possono essere usati come misuratori di livello di liquido all’interno di una tubazione orizzontale basandosi sulla variazione della percettività relativa della sezione retta oppure come trasduttori di pressione differenziale dove una membrana deformandosi a causa della pressione fa variare la distanza tra un’armatura e l’altra.
• Resistivi: sfruttano la prima e seconda legge di Ohm, in particolare della resistività che è funzione del tipo di materiale e della temperatura. (esempi: sensori di T ad elemento metallico)

2° stadio

Elemento di elaborazione cioè converte il segnale di misura in un’altra variabile cioè il segnale di uscita conservandone l’informazione rendendolo un segnale standardizzato, cioè conforme a normative internazionali. Il segnale di uscita può essere analogico o digitale.

3° stadio

È costituito da un elemento che consente la visualizzazione della misurazione del misurando che è espresso da un valore numerico seguito dall’unità di misura SI:

• Lettura analogica: indice mobile su scala graduata fissa (o viceversa ad es. contatore dell’acqua)
• Lettura digitale: il valore del misurando viene fornito in forma numerica
  • Display meccanici: lettura analogica o digitale (display passivi senza uso di energia elettrica)
  • Display elettronici: basati sull’utilizzo di componenti elettronici (lettura analogica o digitale) e richiedono generalmente corrente per funzionare (attivi)

Misurazioni

L’obiettivo di una misurazione è quello di determinare il valore di una grandezza detta misurando. Misurare è un processo stocastico cioè il risultato di una misurazione è una variabile aleatoria ovvero dipende da una combinazione di parametri coinvolgendo:

• Operatore (causa di incertezza)
• Strumento di misura (causa di incertezza)
• Misurando
• Ambiente di misura (causa di incertezza)

Metodo indiretto: il valore del misurando ottenuto mediante la misurazione di altre grandezze legate funzionalmente al misurando.

Metodo diretto: consiste nel confrontare il misurando direttamente con una grandezza omogenea della stessa natura e di valore noto, ad esempio un campione.

Un’unica misurazione non è attendibile in quanto è necessario ripetere un numero sufficiente di volte la misurazione per poter stimare la componente casuale del processo statistico. Il valore vero di una grandezza è un’astrazione (noumeno di Platone).

Precisione: grado di concordanza tra le indicazioni ottenute del misurando da uno strumento in seguito a diverse misurazioni dello stesso misurando sotto determinate condizioni. Facendo l'esempio con un arco, non interessa se le frecce arrivano al centro ma a creare una rosa quantomeno vicina cioè in un'area ristretta del bersaglio misure di N ripetizioni concordi tra di loro. È utile introdurre lo scarto tipo cioè il grado di dispersione (scostamento) dei dati rilevati individualmente rispetto al valore medio. Una precisione elevata significa che vi è una dispersione molto piccola dei valori tra loro misurati cioè tutti i colpi raggruppati in una zona molto piccola del bersaglio.

Accuratezza: grado di concordanza tra i valori della grandezza misurata e il valore vero del misurando (cioè la migliore stima del misurando). Un’accuratezza elevata indica che i colpi sono in prossimità del centro del bersaglio cioè si scostano poco dal valore medio delle N ripetizioni.

Incertezza: I=X(rit ver)-X(misurazione). È la stima caratterizzante il campo di valori entro cui cade il valore vero del misurando. Riflette inoltre la mancanza di conoscenza esatta del valore del misurando. Ad esempio: T=25,0 ± 0.5°C → Y=±U → y-U ≤ Y ≤ y+U. Dove ±0.5 rappresenta la fascia di valori all'interno della quale si ritiene, con un determinato intervallo di confidenza, debba ricadere il valore vero convenzionale della grandezza.

Errore

• Casuale: scostamento tra il valore misurato e il valore medio. Dovuto a cause non prevedibili che danno luogo a misurazioni non coincidenti del medesimo misurando. È possibile ottenere una migliore descrizione del fenomeno aumentando il numero di ripetizioni. È l'errore più problematico in quanto non gestibile.
• Sistematico: scostamento tra il valore medio e il valore convenzionalmente vero. Ripetere numerose volte la misurazione dello stesso misurando non attenua l'errore sistematico ma può essere riconosciuto e "compensato". Un esempio può essere una canna di un fucile storta.
• Assoluto: è la somma dei due precedenti errori. Se è positivo la misura si dirà sovrastimata, se invece è negativo la misura si dirà sottostimata.

Più la curva è stretta più è indice di ripetibilità con indici prossimi al valore medio (“correzione” errore casuale). Quando correggo l'errore sistematico traslo la gaussiana in maniera tale che il valore medio sia prossimo al valore ritenuto vero (correzione dell’errore sistematico).

Definizioni distribuzione gaussiana

• Valore medio/atteso: rappresenta la media che risulterebbe da un numero infinito di osservazioni X. Ha un valore deterministico cioè nel caso di infinite misurazioni il valore atteso assume non più carattere probabilistico ma deterministico cioè la sommatoria di infinite variabili aleatorie dà luogo a una misurazione deterministica. X=Singola misurazione (variabile aleatoria).
• Valore atteso sperimentale: rappresenta la media aritmetica che risulta da un numero N finito di osservazioni X. Ha un valore probabilistico in quanto N non è infinito.
• Varianza
• Varianza sperimentale: misura della dispersione definita come somma dei quadrati degli scarti delle osservazioni X rispetto alla loro media aritmetica.
• Scarto tipo/dispersione: differenza tra valore della misurazione e il valor medio. Misura della dispersione dei valori attorno al proprio valor medio. Caratterizza la forma della curva di Gauss.
• Scarto tipo sperimentale (perde un grado di libertà)

Una misura è affidabile se l’errore casuale e sistematico sono molto contenuti. Una misura è ripetibile se l'errore casuale è molto piccolo, ovvero se le dispersioni intorno alla media sono piccole, e una buona ripetibilità, cioè una curva stretta e snella, non è sempre sinonimo di affidabilità di misura in quanto vi potrebbe essere un bias error considerevole (compensabile). La qualità di una misura dipende dall'intervallo di incertezza cioè più stretto è l’intervallo, migliore è il risultato di una misurazione.

Introduzione alla metrologia 1

Istogramma di frequenza

• Si ordinano le misurazioni in ordine crescente.
• Creo di rettangoli di base dx cioè gli intervalli elementari. Inoltre scelgo arbitrariamente dx facendo in modo che in ogni intervallo elementare ricada almeno una misurazione.
• Il valore superiore di ogni intervallo appartiene all'intervallo successivo. Ad esempio il valore 39.3 del primo intervallo appartiene al secondo.
• È possibile raccordare l'istogramma con una curva continua (curva di Gauss) perché al crescere di N che tende ad infinito, l’intervallo dx diventa sempre più piccolo.

y(i)*dX(i)= frequenza con la quale sono stati registrati i valori nell'intervallo DX(i).

Distribuzione gaussiana o normale

Tale modello è caratterizzato da un numero di osservazioni sufficientemente elevato generalmente (posizione superiore a 25. La funzione di Gauss è completamente individuata una volta noti X rispetto al valore ritenuto vero) e (forma della curva).

Standardizzazione di una curva gaussiana

Il campione di misura invece di essere descritto con una gaussiana snella e alta o bassa e svasata può essere descritto con una gaussiana standardizzata cioè con forma unica con Standardizzo perché così ho la possibilità di confrontare tra loro risultati provenienti da campioni di misura più diversi:

• Effettuo un cambio di variabile indipendente X->Z.
• Invece di operare in un piano X,Y operiamo in un piano Z,Y(Z).
• =1 per costruzione X=0 e 0.
• Il risultato di una misurazione si esprime come X=X ± Z*0Z = indica il livello di confidenza con cui il valore della grandezza di misura è compresa nel margine di incertezza prescelto. Z assume valori compresi tra ±1 e ±3 che corrispondono a 3 valori di probabilità (dimensione area sottesa della gaussiana che indica la probabilità di ottenere risultati di misura compresi nell’intervallo di semiampiezza ±z) standardizzati.

Se effetto 25 misurazioni con elevata ripetibilità (misurazioni tutte vicine a X nella parte alta della curva) anche se con Z=±1 (ottima dispersione ed eccellente ripetibilità) ho 66,27% di probabilità esprimerò il risultato come X=X ±1 e non come X=X ±3 perché tutti i 25 punti sono compresi tra -1 e +1 secondo le mie misurazioni e anche sigma sarà piccolo in quanto x-x0 piccolo. Se z=±3 il campione è talmente disperso che sigma è elevata e Z è elevata e quindi il campione è talmente disperso che gli devi mettere un coefficiente di sicurezza 3 sigma perché intorno alla misurazione ci sono talmente tante cause di aleatorietà che tutte le misurazioni saranno certamente comprese tra Z=±3 e qualunque misura ha il 99,73% di possibilità di trovarsi all’interno di quei valori.

Introduzione alla metrologia 2

Distribuzione T di Student

Nella pratica le misurazioni vengono effettuate ripetendo le osservazioni un numero limitato di volte in applicazioni industriali il modello gaussiana semplificato con N maggiore uguale di 25 non è implementabile occorre confrontarsi con campioni poco numerosi. La distribuzione T di Student è adatta per interpretare statisticamente i risultati di una serie limitata di misurazioni del matematico svizzero Gossett sotto lo pseudonimo Student perché la fabbrica di birra Guinness dov’era impiegato vietava ai dipendenti di pubblicare articoli affinché questi non divulgassero segreti di produzione.

Esempio: 2 persone effettuano cinque misurazioni di un tavolo di circa 3 m con lo stesso strumento di misura. Le cinque misurazioni di X e le cinque misurazioni di Y saranno diverse a causa del diverso ambiente di misura. Questi cinque misurazioni possono essere considerate come popolazioni derivate dalla primitiva, cioè le cinque misurazioni di X ed Y sono estratte da una popolazione teorica che chiamo primitiva costituita da infinite misurazioni o molto numerose (N>25) dello stesso tavolo con lo stesso strumento di misura.

Effettuo 250 misurazioni dello stesso tavolo di 3 m (2.99, 3.01, 2.98) e inserisco queste 250 misurazioni in un'urna (come quella del lotto). Queste 250 misurazioni (primitiva) rappresentano una curva di gauss primitiva. Se bendato pesco 5 tra le 250 misurazioni queste rappresentano in maniera figurata le cinque misurazioni di X e se ne faccio pescare altre 5 rappresentano le cinque misurazioni di Y con lo stesso strumento. Le 5 e 5 misurazioni costituiscono le due popolazioni poco numerose derivate da popolazioni originarie della primitiva molto numerose gaussiana. Tra i cinque di X e i 5 di Y sicuramente non tutti e cinque saranno coincidenti (o nessuno o uno o due). Inoltre se misuro il tavolo 5 volte invece di 250 ottengo un campione più fragile e meno significativo dal punto di vista statistico quindi perdo informazione sulla media perché la media dei cinque di X sarà probabilmente diversa dalla media dei 5 di Y. Se invece di avere solo due persone X e Y ho M persone che effettuano misurazioni poco numerose ottengo M campioni poco numerosi da cinque misure ognuno, ottenendo così M medie aritmetiche (delle cinque misurazioni) misurate da M persone diverse. Student inoltre afferma che il valor medio di una popolazione poco numerosa è una variabile aleatoria a differenza del valore atteso (N tendente ad infinito) di Gauss con valore deterministico. Quindi la media ha la stessa dignità statistica della singola misurazione. Questi valori medi possono essere rappresentati a loro volta con una gaussiana, al crescere di M (a dismisura), avrò un numero sempre maggiore di variabili aleatorie (composte da medie) e avrò un insieme sufficientemente numeroso di medie fino a formare un campione numeroso. Costruisco quindi una gaussiana con i valori medi delle M popolazioni derivate estratte dal campione primitivo (Gaussiano) La media delle medie è molto prossima alla media gaussiana → Varianza della media.

La distribuzione T di Student ha andamento analogo alla distribuzione normale ma è meno appuntita e tende alla distribuzione gaussiana standard con X =0 e 0. Quindi per N che tende ad infinito e t → z la distribuzione t di Student tende a quella di gauss standardizzata. Dalle N>25 la T di Student va a sovrapporsi con la Z di Gauss. Se N<25 → T>Z (A parità di livello di probabilità circa 99% l'area sottesa dalla curva di Gauss si raggiunge con ascisse minori di quelle di Student, ±2.57<±3.1).

Test statistici di gaussianità

Quando si ha a che fare con un campione di numerosità intermedia (con un numero di ripetizioni maggiore di 5-10 ma minore di 25) allora si può tentare un test statistico per valutare l'ipotesi di trattare il campione con il modello gaussiano standardizzato invece che con la distribuzione t di Student (di maggiore incertezza).

Esito positivo → Uso Gauss → X=Xo ± z.

Esito negativo → Uso Student → X=Xo’ ± ts.

Ci sono due tipologie di test:

• Test del chi quadro
• Carte di probabilità

Test del chi quadro

Si parte da un’istogramma di frequenza. Le N ripetizioni delle misure vanno organizzate ordinandolo in maniera crescente e riportando in corrispondenza di ogni assegnata ampiezza elementare (ΔXi), sulle ordinate, il numero di volte in cui una misura ricade all'interno dell'intervallo generico.

• Una regola pratica per stimare il numero di intervalli (ΔXi) in cui suddividere le misurazioni nel dominio dell’istogramma è:

Dove con k si indicano il numero degli intervalli e con n si indicano il numero delle osservazioni.

• L’ampiezza di ogni intervallo elementare deve essere tale che ci sia sempre in tutti gli intervalli almeno un evento cioè una misura che ricada in ΔXi.

Per ogni intervallo si esclude l'estremo superiore e considerandolo appartenente all'intervallo adiacente successivo, eccetto che per l'ultimo intervallo o viceversa Per calcolare il chi quadro uso questa formula → Una volta calcolato il chi quadro lo si confronta con l’operatore matematico di riferimento cioè il chi quadro limite ottenuto attraverso l’abaco.

Il test dà esito positivo quando: chi quadro calcolato 2< chi quadro limite 2.

Esempio di esercizio

Test qualitativo → carte di probabilità

1. Abbiamo la scala delle ascisse comprendente tutti i valori del campione poco numeroso sottoposto a test qualitativo. Solitamente per normali dispersioni la scala lineare è sufficiente.
2. Si ordinano in senso crescente sull'asse delle ascisse.