Principali teoremi, Analisi 1

Assioma di Dedekind

A, B ⊂ ℝ t.c. A &union; B = ℝ A &inter; B = ∅ a ≤ b ∀ a ε A b ε B ⟶ ∃ L ε ℝ t.c. a ≤ L ≤ b ∀ a ε A

Def. A ⊂ ℝ limitato superiormente ⟶ ∃ c t.c. a ≤ c ∀ a ε A c è un maggiorante di A limitato inferiormente estremo superiore di A

Def. Sia A ⊂ ℝ limitato superiormente estremo superiore di inf estremo inferiore di A e, ∀ ε > 0 ∃ a_o ε A t.c. a_o > L - ε estremo inferiore

Teorema: Se A ⊂ ℝ limitato superiormente lim come detto con conseguenze da Dedekind ∃ estremo superione inferiore

Teorema: ∀ ∃ left ∃ m ε ℕ t.c. 1/ 2^m (1)

Se ora L = infL_m, ε > 0. L+ Lε ε A ⟶ ∃ m ε ℕ t.c. 2L> 1/m, L non è A. Assurdo.

Def. U si dice aperto se ∀ x ε U ∃ x t.c. B

Proprietà

• &Emptyset; ε ℝ sono aperti;
• Se {U_i}_j e ci sono aperti

Def. A ⊂ ℝ è chiuso se ℝ \ A è aperto

Proprietà: se {A_i} non chiusi

Def. A si dice puntoun chiuso ⟶ A_i (1)A_n è chiuso.

Def. ∅ &profin; ∀ X ε A t.b. fronteira di A ⟶ ∃ x t.c. B_x(0)ε A

Proprietà A^- chiusura di A ⟶ A = A ∪ ∃ movviamente è ovvio supponiamo che (i) non fosse vero ⟶ ∃ A_o t.c. F ∀ x = B(x ⟶ ∃ F ∀ x ={F}

Def. a ε &exists; A detto punto di chiusura ⟶ ∀ Def. aε ∃ A detto punto di accumulazione

Assioma di Dedekind

A, B ⊆ ℝ t.c. A ∪ B = ℝ A ∩ B = ∅ a ∈ A⃗b ∈ B => ∃ L ∈ ℝ t.c. a ≤ L ≤ b ∀ a ∈ A b ∈ B

c' ∈ un maggiorante di A

Def. A ⊂ ℝ limitato inferiormente ↔ ∃ c t.c. a ≥ c ∀ a ∈ A

Si A ⊂ ℝ limitato superiormente ↔ L = sup A e detto estremo superiore di A e L’ = ∧{ a ∈ A t.c. a ≥ o L estremo inferiore

Teorema: Se A ⊆ ℝ limitato superiormente → ∃ estremo superiore

Dim come diretta conseguenza edo Dedekind

Teorema: ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N t.c. 1/_m < ε

Dim se non fosse vero => 1/_m > ε ∀ m → ∃ ε o t.c. ∀ m M < 1/_m : ε o.

Sia ora A = [½, 1) t.c. M _{n ∈ N} > ε o → ε^{n ∈ N}(1)

Se ora L = inf A ↔ ∃ ε o t.c. m ∈ N t.c. Z(> L) ⇔ 1 2^m m L non E inf A, Assurdo.

Def. U si dici aperto se ∀ x_o ∈ U ∃ ε_o t.c. B(x, ε) ∈ U

Proprietà

• &Empty; ε i R sono aperti se {U_i} i son aperti → ∪ {U_i} ω è aperto se U₁, U₂ sono aperti → U, ∩ U₂ è apero

Def: A ⊂ &reals; e chiuso se &reals; a è aperto

Proprietà

• &Empty; ε i R sono chiusi se {A_i} nono chiusi : ∪ {A_i} ω è chiuso

In A_j sono chiusi : ∩{A_i} i è chiuso se, ω A_i sono chiusi in A U A₂ è chiuso.

Def: ⊄ ℒ ↑ R xe^∑ dice punto infinito → ∃ ε ∈ o t.c. B(ok, ε ⊂ Ac.b ∈ B(x, ε)

Def: F = Â ⊆ i R, x ∉ Ô Â ↔ ∃ o A⬅frontiera di A ↔ ^⊕ ε ne B(x, ε)<a,b ∈ B(x,ε)

Proprietà Â – chiuso di A ⊃ Â = Â ⊗ Â

Dim: un contenimento η οvio, mostrerò l'altro. na a a ∈ Â ƒ ω. na a ∉ Â Aaffariamo che ₣ ƒF ⊇ Â ε o η (1) non fosse vero → Ƒ così coo A ɛ F= a ε η fofo.=> ∃ ο ℒ ^¹