Concetto di derivabilita e teoremi principali

Derivabilità

L'equazione della retta tangente al grafico di y = f(x) nel punto di _x0 y - y₀ = lim (x - x₀) sotto lo trovo?

Immaginiamo di introdurre un secondo punto lim_sec Δ_y / Δ_x = [f(x₀+h) - f(x₀)] / (x₀ + h) - h = [f(x₀+h) - f(x₀)] / h freccia rapporto incrementale.

Più il secondo punto si avvicina al primo => la retta secante diventa tangente.

In termini matematici: m_tang = lim_h→0 [f(x₀+h) - f(x₀)] / h freccia se questo limite esiste ed è finito y=f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x₀ e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x₀.

Teorema

Sia f : I freccia R deriv in x₀ εI allora f è continua in x₀, aggiungo deriv ⇒ continua quindi dove non è continua non mi pongo il problema della derivabilità.

Dimostrazione

Per ipotesi freccia lim _x→x0 [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) = f'(x₀).

Derivabilità

L'equazione della retta tangente al grafico di y = f(x) nel punto di x₀ y - y₀ = lim_{x → x₀} (x - x₀).

Immaginiamo di introdurre un secondo punto lim_sec Δy / Δx = [f(x₀+h) - f(x₀)] / [(x₀+h) - h] = [f(x₀+h) - f(x₀)] / h → rapporto incrementale.

Più il secondo punto si avvicina al primo ⇒ la retta secante diventa tangente.

In termini matematici: m_tang = lim_{h → 0} [f(x₀+h) - f(x₀)] / h ⇒ se questo limite esiste ed è finito y = f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x₀ e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x₀.

Teorema

Sia f : I → ℤ derivabile un x₀ ∈ I allora f è continua in x₀. Deriv ⇒ continua.

Dimostrazione

Per ipotesi è finito lim_{x → x₀} [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) = f'(x₀).

Dove non è continua non mi pongo il problema della derivabilità.

Poiché x - x_o → 0, affinché il limite è finito il numeratore lim_x→xo[g(x) - g(x_o)] = 0.

lim_x→xo g(x) = g(x_o) è continua.

Algebra delle derivate

g(x) + s(x) è derivabile in x_o = g'(x) + s'(x) ADDIZ/SOTT.

g(x) è derivabile in x_o = g(x) · s(x) - g(x) · s'(x) / [s(x)]² divisione.

g(x) · s(x) è derivabile in x_o = g'(x) · s(x) + g(x) · s'(x) MOLTIP.

Esempio

f(x) = 3e^x - 4x² / 4 + sin x => f'(x) = [(3e^x - 8x)(4 + sin x) - (3e^x - 4x²)(cos x)] / (4 + sin x)².

Derivate funzioni composte

g(x) = eu(x²+x).

D[f∘g(x)] = g'[g(x) ] · g'(x).

f(x) = e^ux g(x) = x² + x f'(x) = 1 / x g'(x) = 2x + 1 f'(x) = 1 / x² + x · 2x + 1 = 2x+1 / x² + x.

f(x) = sin(x²).

f'(x) = 2x cos(x²).

f(x) = sinx f'(x) = cosx g(x) = x² g'(x) = 2x.

Funzioni a pezzi

f(x) = {sin(x²)/x      x > 0 3x + 2x²      x ≤ 0.

lim_x→0⁺ (sin(x²)/x) = lim_x→0^- (x²) = 0 = f(0) funzione continua in x > 0.

lim_x→0⁺ (3x + 2x²) = 0 = f(0) continua anche in x < 0.

f'(x) = {2x²cos(x²) - sin(x²) / x²      x > 0 7      x = 0 3 + 4x      x < 0.

lim_x→0^- (3 + 4x) = 3.

lim_x→0⁺ ((2x²cos(x²) - sin(x²)) / x²) = 1.

Dunque in 0 la derivata non esiste.

Derivabilità funzioni inverse

Teorema

Data f(x) derivabile in un I_x₀ e invertibile in un I_y₀.

g'^-1(x) = ¹/_Dg'^-1(y).

Arcocoseno

y = arccosx x = cosy.

È invertibile [0,π].

D(arccosx)y = ¹/_Dg(x) = ¹/_-seny = ¹/_-√1-cos²y = ¹/_-√1-x².

Arcoseno

y = arcsenx x = seny.

È invertibile [-π/2,π/2].

D(arcsenx) = ¹/_Dg(x) = ¹/_cosy = ¹/_√1-sen²y = ¹/_√1-x².

Arcotangente

y = arctanx x = tgy.

Invertibile [-π/2,π/2].

D(arctg)y = ¹/_1+tgy² = ¹/_1+x².

N.B. cotgx = cox/senx.

Arcocotangente

y = arccotx x = cotgy.

f '(x) = ¹/_D[cotgy] = ¹/_-1-cot²y = ¹/_-1-x².

Punti di non derivabilità

Se una f(x) in x₀ è continua ⇒ se f(x) non è continua in x₀ non è nemmeno derivabile in x₀.

• I finiti ma da destra e da sinistra sono diversi.

lim_x→x₀^- f'(x) ≠ lim_x→x₀⁺ f'(x).

Esempio

y = |x| ⇒ y' = {(-1 x < 0)(1 x > 0).

Abbiamo un punto angoloso in x₀.

• ∃ ma limite f'(x) = ±∞.

lim_x→x₀^- f'(x) = ±∞ lim_x→x₀⁺ f'(x) = ∓∞.

Esempio

y = 1/∛x ⇒ y' = {1/3x^2/3 x > 0 → +∞ -1/3x^2/3 x < 0 → -∞ cuspi_de.

• Se lim_x→x₀^- f'(x) = ±∞ anche quello di sinistra con lo stesso segno di ilfini.

Esempio

y = x^1/3 ⇒ y' = 1/3x^-2/3 = +∞ = lim_x→0⁻f_lesso a tg Verti_cale.

Osservazione: uno dei 2 limiti potrebbe es__{s_}ere finito: poiché è definita solo a sx o ax → tg_verticale.

• Se invece lim_x→x₀ f'(x) è finito o viceversa.

lim_x→x₀^- f'(x) è infinito.

Il caso ufini_to finito metà cuspide e metà _punto_ angoloso.

Teorema Fermat

Sia \( f:(a,b) \to \mathbb{R} \) (intervallo aperto). Supponiamo che \( f \) sia derivabile in \( x_0 \in (a,b) \) e che \( x_0 \) sia un punto di max e min relativo \( \Rightarrow f'(x_0)=0 \).

Esempio

\( y = x^3 \) \( y' = 3x^2; 0 \) \( g'(0) = 0 \).

Il fatto che la derivata faccia 0 non significa che ho un estremo ma è un candidato.

Ma 0 non è un estremo locale ma è un punto di flesso a tg orizzontale.

Infatti dove la derivata fa 0 \(\rightarrow\) ci possono essere estremante o flesso tg orizzontale.

\( x_0 \) è un punto estremo \(\Rightarrow g'(x_0) = 0 \).

Teorema Lagrangeo della media

Sia \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) continua in \([a,b]\) e derivabile \((a,b)\).

Allora \(\exists \, c \in (a,b) \) t.c. \( g'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \).

Coeff. angolare della tangente.

Coeff. angolare della secante.

Dimostrazione

Sia ausiliaria data \( g(x) = f(x) - \left[ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \right] \cdot (x-a) \).

\( y = 0 \) eq. retta secante e grafico f agli estremi.

\(\Rightarrow g(x) \) è continua e derivabile, inoltre \( g(a) = g(b) = 0 \).

Inoltre \( g \) è derivabile in \((a,b)\).

1^o caso \( g(x) \) è costante in \([a,b]\) \(\Rightarrow g'(x)=0\).

\( 0 = g'(c) = g'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)