Soluzione Prima Prova Gara nazionale di Meccanica 2010

Soluzione prima prova gara di meccanica 2010

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Determiniamo la portata, vedi punto A parte prima, della pompa:

Q = A · V

Il diametro della condotta è costante per tutta la lunghezza per cui l’area diviene:

A = (π · d²) : 4 = (π · 0,1²) : 4 = 7,85 · 10⁻³.

Ed il valore della portata diverrà:

Q = 7,85 · 10⁻³ · 3 = 0.0236 m³/s → 1416 litri/min.

Calcoliamo la pressione del fluido all’ingresso (P1) della girante; vedi punto B parte prima:

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P1/ɣ = P0/ɣ − Ha − Ya.

P1 = P0 − (Ha · ɣ) − (Ya · ɣ).

P1 = 101325 − (2,5 · 9810) − 19620 = 57810 Pa → 57,8 KPa.

Determiniamo, anche, la pressione del fluido all’uscita (P2) della girante:

P2/ɣ = P3/ɣ − Hm − Ym.

P2 = P3 − (Hm · ɣ) − (Ym · ɣ).

P2 = 130000 + (18 · 9810) + (4 · 9810) = 345820 Pa → 345,8 KPa.

Calcoliamo la prevalenza manometrica Hu della pompa; punto C parte prima:

Possiamo adottare due espressioni equivalenti per determinare Hu, il primo metodo consiste:

Hu = Hg + (P3 − P0) / ɣ + ƩY.

Hu = (Ha + Hm) + (P3 − P0) / ɣ + (Ym + Ya).

Hu = (2,5 + 18) + (130000 − 101325) / 9810 + (4 + 19620 / 9810) = 29,4 m.

Oppure, una seconda espressione:

Hm = P2 − P1 / ɣ.

Hm = (345820 − 57810) / 9810 = 29,4 m.

Determiniamo il rendimento della pompa, punto D della prima parte:

ηр = Nc / Neff.

ηp = (ɣ · Q · Hm) / Neff · 1000.

ηp = (9810 · 0.0236 · 29,4) / 8,6 · 1000 = 0,79.

Verifica dell’altezza di aspirazione; punto E prima parte:

Dobbiamo soddisfare la seguente relazione:

NPSH ≤ P1/ɣ − (Ha + Ya + ∆ha + V1²/2g + Pv/ɣ + ∆Za).

Definizione di alcuni termini non noti nel testo:

∆ha = margine di prevalenza, quota di sicurezza dell’ordine di 0,5 m.

V1²/2g = altezza cinetica.

∆Za = perdita in aspirazione in funzione della temperatura dell’acqua; nel nostro esempio ∆Za = 0,2 m.

Per cui, noti tutti i termini e sostituendo alle incognite, possiamo determinare:

2,7 ≤ 101325/9810 − (2,5 + 2 + 0,5 + 3² / 2 · 9,81 + 2000/9810 + 0.2).

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2,7 ≤ 10,3 − (2,5 + 2 + 0,5 + 0,46 + 0,2 + 0,2).

2,7 ≤ 4,44.

La relazione risulta soddisfatta per cui l’impianto è accettabile dal punto di vista del rischio cavitazione.

Per dimensionare l’albero della girante, punto F parte seconda, determiniamo, dapprima, la velocità angolare ed il momento torcente trasmesso all’albero:

ω = 2 · π · n / 60.

ω = 2 · π · 1450 / 60 = 151,8 rad/s.

Mt = Neff / ω.

Mt = 8600 / 151,8 = 56,65 Nm.

Successivamente, determiniamo, servendoci dello schema statico, le reazioni vincolari e i diagrammi del momento flettente nei vari piani di sollecitazione; schema statico dell’albero: Y

A B C D

Mr Mm

R2

G Mfx Piano Z-Y

R1

4 T

R3 Piano Z-X

Mfy

R4 Piano X-Y

Mtz

Calcoliamo le reazioni vincolari agenti sul piano Z-Y:

R1 = G · (194 + 147) / 147.

R1 = 150 · 341 / 147 = 348 N.

R2 = R1 − G.

R2 = 348 − 150 = 198 N.

Determiniamo il momento flettente massimo Mfx:

Mfx = G · 194.

Mfx = 150 · 194 = 29100 N mm.

Troviamo, nel piano Z-X, le reazioni vincolari R3 e R4:

R3 = T · 75 / 147.

R3 = 980 · 75 / 147 = 500 N.

R4 = R3 + G.

R4 = 500 + 980 = 1480 N.

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Determiniamo il momento flettente massimo Mfy:

Mfy = R3 · 147.

Mfy = 500 · 147 = 73500 N mm.

Nel piano X-Y agisce il momento torcente Mtz:

Mtz = 56650 N mm.

Per la costruzione dell’albero adotteremo un acciaio da cementazione 18NiCrMo5 bonificato con un carico a rottura minimo ϬR = 980 N/mm², cementato perché, in corrispondenza dei due cuscinetti, prevederemo due anelli di tenuta striscianti sulla superficie esterna dell’albero. Altresì, il materiale possiede un limite di fatica alterna simmetrica ϬLf0 = 490 N/mm². Assunto K = 0,6 e n = 3, la tensione ammissibile risulta:

Ϭadm = k · ϬLf0 / n.

Ϭadm = 0,6 · 490 / 3 = 98 N/mm².

τadm = 0,576 · Ϭadm.

τadm = 0,576 · 98 = 56 N/mm².

Determiniamo, in prima analisi, il diametro pieno della sezione A dell’albero della girante; possiamo considerare che il momento flettente sia trascurabile quasi nullo:

∛

Da = 16 · Mtz / π · τadm

∛

Da = 16 · 56650 / π · 56 = 17,3 mm.

Adottando, per l’accoppiamento con il mozzo della girante, un profilo scanalato del tipo con appoggio medio e centraggio interno UNI 221, dalla tabella si ricava un d = 18 mm, leggermente superiore al valore calcolato in precedenza.