Meccanica del continuo: Appunti di Scienza costruzioni

S I GS I GCCIIEENNZZAA DDEELLLLEE CCOOSSTTRRUUZZIIOONNII PPEERR NNGGEEGGNNEERRIIAA EESSTTIIOONNAALLEEC IE NZ A DE LLE C O ST R U Z IO N I PE R N GE G NE R IA E ST IO NA LEM ’M ’E C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL EELLAASSTTIICCIITTÀÀE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LLE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL E LA ST IC IT À

IIL CO N TINU O DE FORM A BI LE

L CO N TINU O DE FORM A BI LE

Ca p it o lo 1 .I (1 . 1 ) LL CCO RPO CO N T IIN UOO RPO CO N T N UOL CO RPO CO N T I N UO

Per intendiamo una regione dello spazio delimitata da una o più superfici chiuse (frontiera o corpo continuo V con normale definita in ogni punto tranne al più in un insieme di punti di misura nulla, nella quale contorno) è diffusa con continuità della massa. Sia ∆V un elemento comunque scelto e comunque piccolo contenente il generico punto P e ∆m la massa in esso contenuto. Si definisce il limite:

Densità di massa volumetrica nel punto P ∆  m dm µ = = lim  ∆( P )  ∆ → V dVV P P

Se la densità è costante M = μV. In modo analogo si possono definire le densità di massa superficiale lineare.

Indichiamo con C un generico corpo continuo e con S la superficie costituente il contorno. Chiameremo punti di contorno i punti di C su S, e punti interni gli altri. Le forze esterne agenti sul corpo si distinguono in e e queste ultime, a loro volta, in concentrate e distribuite. Le prime agiscono su forze di volume di superficie, elementi di volume del sistema, e pertanto possiamo calcolare l’intensità in un punto P:

Della forza di volume ∆  F dF N= = =  f lim f ∆ ( P )( P ) 3∆ → mV dV V P P

Se si riferisce il corpo ad una terna cartesiana triortogonale destrorsa, le componenti rispettive di siff i (P) calcolano come = dF / dV. Con le forze di volume possiamo definire le forze di massa, cioè quelle che f i i agiscono sull’elemento di massa che compete al generico elemento di volume. L’intensità è:

Della forza di massa   dF dF 1 N= = = = mP   mP f f f  µ µ( ) ( P ) ( ) kgdm dV   ( P ) ( P )P P

Le forze esterne di superficie sono dovute al contatto con altri corpi e si esercitano attraverso gli elementi superficiali che delimitano il corpo stesso. Considerando un punto Q generico appartenente al contorno, si definisce nel punto Q o il seguente limite:

Intensità superficiale del carico pressione superficiale ∆  F dF N= = =  p lim p ∆( Q ) ( Q ) 2∆ → mS dS S Q Q

Se per qualche linea ∆ℓ del contorno si verifica che su ogni elemento di essa agisce una forza, si dice allora che ∆ℓ è una linea di carico della frontiera S. Se T è un punto contenuto in ∆ℓ, il carico che agisce sulla linea è definito dal vettore che in T vale:

Intensità lineare del carico, ∆  F dF N= = =  q lim q ∆ ( T )( T ) ∆ → mℓ ℓd ℓ T T

Se infine in un punto R del contorno, per un elemento ∆S che lo contiene, la forza su di esso agente ha F intensità finita, e tale si mantiene se ∆S R, si dice che in R è applicata una forza concentrata .R

V (1 . 2 ) EETTTTO RE T E N SIIO N EO RE T E N S O N EE T T O RE T E N SI O N E

Per comprendere come si manifesta lo stato di costrizione interna in un continuo C sottoposto all’azione di forze esterne, isoliamo una qualunque porzione A di C, delimitata da una superficie ω, e chiamiamo B la F F restante parte. Se ed sono le risultanti delle forze che agiscono rispettivamente su A e su B, e C è in A BF F equilibrio, allora ed sono direttamente opposte. Se si effettua un taglio tale da dividere A e B, entrambe A B S S le parti si mettono in moto. Ma se su entrambi i corpi applichiamo le azioni interne ed che si AB BA{ } trasmettono A e B attraverso ω, allora sono in equilibrio, e sarà: . Sia ∆ω= − = = − n∼F , F 0 ; S S F FA B BA AB B A un elemento della superficie ω, con baricentro P e versore normale orientato verso l’esterno di A.n

Indichiamo con ∆F la forza di direzione definita e con ∆M la coppia di asse momento definito che, n n attraverso ∆ω B trasmette ad A. Se ammettiamo che al tendere a zero di ∆ω , anche le due quantità di cui n, n sopra tendano a zero, allora esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali rispettivamente della forza e del momento con l’area ∆ω . Se in particolare il secondo è nullo (principio di Cauchy), l’effetto di B su A si n ω∀ ∈ : riduce ad una distribuzione sull’intera area ω del che nel caso più generale è diverso vettore tensione, P ∆Μ ∆    NF dF == = =  n n n   tlim 0 t lim  ω ω ω∆ ∆ n ( P )n ( P ) 2ω ω→ → md   △ △P Pn n n

R S – C S R S – C S IICCCCAARRDDOO CCIIMEECCAA LLAAUUDDIIOO CCIIMEECCAA 1M MIC C A R DO C IME C A LA U D IO C I ME C A

S I GS I GCCIIEENNZZAA DDEELLLLEE CCOOSSTTRRUUZZIIOONNII PPEERR NNGGEEGGNNEERRIIAA EESSTTIIOONNAALLEEC IE NZ A DE LLE C O ST R U Z IO N I PE R N GE G NE R IA E ST IO NA LEM ’M ’E C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL EELLAASSTTIICCIITTÀÀE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LLE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL E LA ST IC IT À

In generale il vettore tensione è funzione del punto P, dell’azione che B trasmette ad A, e della giacitura del piano tangente a dω (che dipende da come si effettua il taglio). Pertanto con si indica il vettore tensione tn n che agisce, in un determinato punto, sull’elemento piano di normale Se riferiamo il corpo ad una terna n. cartesiana 0(x , x , x ), possiamo associare al vettore tensione un secondo indice che identifichi le componenti 1 2 3 cartesiane del vettore stesso secondo quella terna; se β è l’ coseno direttore, si ha che: i-esimo i β β β = = =t t ; t t ; t tn1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3

indica pertanto la componente del vettore secondo la normale e prende il nome di ,n t tensione normale σnn n mentre la componente , secondo la retta intersezione del piano di ed con il piano di dω prende il t nt t,nt n n nome di . Così definita la tensione, una qualunque regione A di C, su cui consideriamo tensione tangenziale τn t applicate sia le forze esterne (di volume e di superficie) che quelle superficiali interne originate dai vettori tensione, può essere trattata come un unico corpo isolato soggetto a date forze esterne. Sia 0(x , x , x ) una 1 2 3 terna cartesiana di riferimento. Immaginiamo ora di tagliare un corpo secondo 3 piani passanti per un punto x x x P, ciascuno parallelo ad uno dei piani coordinati (ad esempio il piano generato da e e di normale ), 1 2 3 x x per i quali avremo tre vettori tensione. Se è il vettore avente come normale l’asse , l’asse e l’asse t t t1 1 2 2 3 x , allora possiamo definire nove componenti (3 per ciascuno), chiamate in P:

Componenti speciali di tensione 3 σ σ σ  t ( ) componente normale t ( ) componente normale t ( ) componente normale 11 1 22 2 33 3  τ τ τ  ˆ ˆ ˆt : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x 1 12 12 2 2 21 21 1 3 32 32 2  τ τ τˆ ˆ ˆt ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x  13 13 3 23 23 3 31 31 1

Si attribuisce segno positivo alle componenti concordi con la direzione dei rispettivi assi. Dunque, per come sono stati scelti gli assi coordinati (concordi a loro volta con e dunque uscenti dal corpo), le tre tensioni n, normali sono positive se rappresentano uno sforzo di trazione. Usualmente si rappresentano le componenti speciali di tensione del generico punto P di un continuo C come agenti sulle facce di un parallelepipedo dell’intorno di P parallele ai piani coordinati, da intendersi come elementi piani passanti tutte per P, e di cui P è il baricentro. Per le tensioni vale il principio di azione e reazione: “considerato un generico elemento superficiale interno al corpo, sulle due facce di esso, cui competono normali opposte, agiscono sempre due tensioni uguale e contrarie”.

Se, per evidenziare le tensioni interne, immaginiamo di tagliare idealmente un corpo in due parti, sulle due superfici di taglio le tensioni sono, punto per punto, uguali e opposte.

R C (1 . 3 ) EELLAZ IIO N E D II AUCH YAZ O N E D AUCH YE L AZ I O N E D I AUCH Y

Consideriamo un punto P appartenente a un continuo C, e costruiamo per esso le componenti speciali di tensione secondo, x , x ). Assegniamo la giacitura di P definendo per un’area dω che lo contiene la una terna cartesiana 0(x 1 2 3 sua normale e supponiamo di conoscere i suoi coseni direttori , ed rispetto agli assi coordinati. Se n n n n1 2 3 prendiamo un volume ∆V comunque piccolo racchiuso da più superfici chiuse ciascuna parallela a uno degli assi coordinati e contenente P, nell’ipotesi che C sia in equilibrio, la somma delle componenti delle forze agenti secondo gli assi coordinati deve essere nulla. Sul volume considerato agiscono le forze esterne di volume, e le tensioni sulle facce del contorno, che rappresentano le forze che il resto di C esercita su ∆V.

Facendo tendere ∆V a P, il termine contenente le forze di volume si annulla e rimangono definite le seguenti relazioni, esprimibili secondo un’unica legge vettoriale nota come relazione di Cauchy:

= + + = + + = + + → = + + t t n t n t n ; t t n t n t n ; t t n t n t n t t n t n t nn1 11 1 21 2 31 3 n 2 12 1 22 2 32 3 n 3 13 1 23 2 33 3 n 1 1 2 2 3 3

Pertanto: “lo stato tensionale in un punto è pienamente individuato se in quel punto si conoscono le componenti speciali di tensione, potendosi esprimere tramite queste le componenti cartesiane della tensione su qualsiasi elemento piano di assegnata giacitura”.

R S – C S R S – C S IICCCCAARRDDOO CCIIMEECCAA LLAAUUDDIIOO CCIIMEECCAA 2 M MIC C A R DO C IME C A LA U D IO C I ME C A

S I GS I GCCIIEENNZZAA DDEELLLLEE CCOOSSTTRRUUZZIIOONNII PPEERR NNGGEEGGNNEERRIIAA EESSTTIIOONNAALLEEC IE NZ A DE LLE C O ST R U Z IO N I PE R N GE G NE R IA E ST IO NA LEM ’M ’E C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL EELLAASSTTIICCIITTÀÀE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LLE C C A NIC A DE L C O NT I NU O E T E O R IA DE LL E LA ST IC IT À

SSTA TI CA DEI SI STEMI CO N TI NU I

Ca p it o lo 2 .R (2. 1 ) EELLAZ IIO N II CO N L E CO M PO N E N T II SPE CIIAL II IIN CO N D IIZ IIO N II ST AT IICH EAZ O N CO N L E CO M PO N E N T SPE C AL N CO N D Z O N ST AT CH EE L AZ I O N I CO N L E CO M PO N E N T I SPE CI AL I I N CO N D I Z I O N I ST AT I CH E

In un continuo in equilibrio C, riferito ad una terna cartesiana 0(x , x , x ), consideriamo una porzione C* 1 2 3 comunque presa e connessa di volume V* limitata da una superficie ω (che può anche essere composta da più superfici). Su C* agiscono forze di volume di intensità (x , x , x ) e forze di superficie la cui intensità è f 1 2 3 data dalla tensione nei punti di ω interni a C e dalla pressione nei punti di ω sulla frontiera. Indichiamo t p con F ed F le proiezioni sull’asse x delle forze rispettivamente di volume e di superficie agenti su C*: 1 1 1v s

( )ω ω∫ ∫ ∫= = = + +F f dV ; F t d t n t n t n dv1 1 s 1 n1 11 1 21 2 31 3ω ωV *

Per l’ultima uguaglianza si è usata la relazione di Cauchy. Trasformando F in integrale di volume (con la 1s formula di Gauss generalizzata), e imponendo la condizione di equilibrio alla traslazione di C*, si ha:

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂   t tt t t t∫ ∫= + + + + + =⇒31 3111 21 11 21   F dV f dV 0∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂s1 1x x x x x x   V * V *1 2 3 1 2 3

Per l’equilibrio, l’equazione precedente deve verificarsi qualunque sia la porzione di corpo V* considerata. Pertanto, affinché la nullità dell’integrale sia vera per qualsiasi volume di integrazione, deve essere nulla la funzione integranda, e ciò deve valere per tutti gli assi. Scriviamo allora le equazioni anche per x e x : 2 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂t t t t t t t t t+ + + = + + + = + + + =31 32 13 23 3311 21 12 22f f f0 ; 0 ; 0∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1 2 3x x x x x x x x x1 2 3 1 2 3 1 2 3

Le precedenti, che legano componenti speciali di tensione e intensità delle forze di volume, sono dette o poiché devono essere soddisfatte in ogni punto di C.equazioni di Navie