Analisi matematica 1 - prima parte

Funzione e funzione inversa

Scrivere la definizione di funzione e di inversa. La definizione di funzione inversa richiama una funzione e, dato il grafico di una funzione, individuare come è disegnato il grafico della sua inversa.

DEF: Il criterio sia x + y = f(x) ⟹ f(y)

DEF: La funzione che assegna a ogni uscita y ∈ f(D) l'unico ingresso x ∈ D tale che f(x) = y si chiama inversa di f e si indica con il simbolo f^-1.

Si procede che per ogni uscita y ∈ f(D) esiste un solo ingresso x ∈ D tale che f(x) = y, quindi f è invertibile e esiste una corrispondenza biunivoca tra D e f(D).

D ⊂ R invertibile in D se vale una delle seguenti condizioni:

• ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)
• ∀x₁, x₂ ∈ f(D), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂
• ∀y ∈ f(D) ∃!x ∈ D tale che f(x) = y

x = f^-1(y) equivale a x ∈ D, y = f(x)

∀y ∈ f(y) f^-1(y) è unico, quindi f è una corrispondenza biunivoca.

Grafico di f^-1

Il punto (x₀, y₀) fa nel grafico di f, allora il punto (y₀, x₀) nel piano (x₀, y₀) allora il grafico f^-1, essendo simmetrico rispetto alla bisettrice y = x, induce che il grafico di f^-1 è l'incubo di quello di f per simmetria rispetto alla bisettrice x = y.

Se è nota l'espressione analitica di f, invertibile, l'espressione analitica di f^-1 non richiede di risolvere rispetto a x l'equazione f(k) = y.

f: y = x², x ≥ 0

f^-1: x = √y, y ≥ 0

5) Scrivere la definizione di funzione inversa

Definizione di funzione inversa: Data una funzione f: Dato l'oggetto di una funzione invertibile, si vuole distinguere le grafico dalla sua inversa.

Def: Il minimo f: Y = f(X₁) = f(X₂)

Def: La funzione che assegna ad ogni uscita y ∈ f(D) l'unico ingresso x ∈ D tale che f(x) = f(x), viene chiamata inversa di f, e si indica con il simbolo f^-1.

f è invertibile se una relazione biunivoca tra D e f(D) soddisfa un punto P(AB) in f.

• ∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⟹ f(x₁) ≠ f(x₂)
• ∀x₁, x₂ ∈ ℝ, f(x₂) = x₂ ⟹ x₁ = x₂
• ∀x ∈ D || x ∈ D tale che f(x) = y₀

∃ y ∈ f(D) ⟺ ﹛ x = f^-1(y) ⊢ f(y) ♂ ⟹ V ⊆ f ≡ corr ⊃ ∃ x ∈ D tale che f(x) = y₀

Grafico di f^-1

(AB) ⟹ графила ⟹ (CD)

GR2grafico* In punto (*0, y) è quel punto y grafico di ⊥ al piano (y₀,K) nel piano y⁴ = K, essendo simmetrica rispetto alla bisettrice f^-1 (x) deduce che che il grafico di f^-1 incabe di quello di f per ristorna rispetco alla bisettrice*

Se è nota l’espressione analitica di f, invertibile, l'espressione analitica di f^-1 risolve in trovare rispetto a x l’equazione f(k =)7^OG ♂ ﹇∼﹇y = x²ψy > ₀

6) Dimostrare che la stretta monotonia implica l'invertibilità di una funzione

Teorema

Teorema 2.1 Una funzione ƒ: D -> R strettamente monotona su D è invertibile in D e inoltre la sua inversa è ancora strettamente monotona.

Dimostrazione

Proviamo poi fissare le idee che ƒ è strettamente crescente su D. Siano x₁, x₂ ∈ D e proviamo che x₁ 2 ⇒ ƒ(x₁) 2)

Se x₁ 2 allora x₁ ≠ x₂ oppure x₂ ≠ x₁ perchè la monotonia stretta di ƒ:

• 1^° caso si ha ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂) (in entrambi i casi ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂))
• 2^° caso si ha ƒ(x₁) ≠ ƒ(x₂)

Perciò ƒ è invertibile.

Assurdo.

Se fosse x₁ 2 dove ƒ⁻¹(y₁), poichè ƒ è crescente avremmo y₁ ≠ y₂, Assurdo. Quindi x₁, x₂ ossia ƒ⁻¹(y₁) −1(y₂), ƒ⁻¹ è monotonia crescente.

7) Scrivere la definizione di successione convergente e definire il limite per una successione

Fornire un esempio.

Def. Una successione (a_n) si dice convergente se esiste un numero L ∈ R per ogni numero: qualunque L > 0 esiste un numero definitivamente: |a_n - L| In altre parole, per ogni £ > 0 si può trovare un intero N tale che|