Preparazione all'esame di Comunicazioni Elettriche

Comunicazioni elettriche

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier:

G(s) = ∫_−∞^∞ g(t) e^−j2πst dt — equazione di analisi

Trasformata inversa:

a(t) = ∫_−∞^∞ G(s) e^j2πst df — equazione di sintesi

Condizioni di Dirichlet

Condizioni di Dirichlet: esiste la trasformata di a(t) se:

• Numero finito di massimi e minimi in ogni intervallo di tempo
• Numero finito di discontinuità in ogni intervallo di tempo
• Assolutamente integrabile ∫ |a(t)| dt < ∞

Fisica realizzabilità

Fisica realizzabilità: condizione sufficiente per l'esistenza della trasformata:

∫ |a(t)|² dt < ∞ — segnale ad energia finita

Spettro di a(t) a valori reali

Spettro di a(t) a valori reali:

G(s) = |G(s)| e^jθ(s) — spettro continuo di fase — spettro continuo di ampiezza "continuo" perché definito su tutte le frequenze

|G(−s)| = |G(s)| — modulo (pari)

θ(−s) = −θ(s) — fase (dispari)

Relazione tempo-frequenza

Relazione tempo-frequenza:

• Funzione stretta nel tempo ⟹ ampio range di frequenze
• Ampio range nel tempo ⟹ poche frequenze nello spettro

Proprietà della trasformata di Fourier

Proprietà della trasformata di Fourier:

Linearità C₁G₁(t) + C₂g₂(t) ⟹ C₁G₁(f) + C₂G₂(f)

Cambiamento di scala a(t) ⟶ 1/|a| G(f/a), a∈ℝ

Compressione di a(t)

Espansione di G(s)

Comunicazioni elettriche

Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier:

G(s) = ∫_-∞^+∞ g(t) e^-j2πst dt

Equazione di analisi

Trasformata inversa:

a(t) = ∫_-∞^+∞ G(s) e^j2πst df

Equazione di sintesi

Condizioni di Dirichlet

Condizioni di Dirichlet: esiste la trasformata di a(t) se:

• Numero finito di massimi e minimi in ogni intervallo di tempo
• Numero finito di discontinuità in ogni intervallo di tempo
• Assolutamente integrabile ∫|a(t)| dt < ∞

Fisica realizzabilità

Fisica realizzabilità: condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata:

∫ |a(t)|² dt < ∞

Segnale ad energia finita

Spettro di a(t) a valori reali

Spettro di a(t) a valori reali:

G(s) = |G(s)| e^jΘ(s)

Spettro continuo di fase

Spettro continuo di ampiezza

“Continuo” perché definito su tutte le frequenze

|G(-s)| = |G(s)| modulo (pari)

Θ(-s) = -Θ(s) fase (dispari)

Relazione tempo-frequenza

Relazione tempo-frequenza:

• Funzione stretta nel tempo ⟶ ampio range di frequenze
• Ampio range nel tempo ⟶ poche frequenze nello spettro

Proprietà della trasformata di Fourier

Proprietà della trasformata di Fourier:

Linearità

c₁a₁(t) + c₂a₂(t) ⟶ c₁ G₁(f) + c₂ G₂(f)

Cambiamento di scala

a(at) ⟶ 1/|a| G(f/a) a∈IR

Compressione di a(t)

Espansione di G(s)

Riflessione

a(-t) ➔ G(-f) (proprietà del cambiamento di scala con a= -1)

Coniugazione

a^*(t) ➔ G^*(-f) (a^*(t) = x - jY se a(t) = x + jY)

a^*(-t) ➔ G^*(f)

Dualità

se a(t) ➔ G(f) allora G(t) ➔ a(-f)

Traslazione nel tempo

a(t - t_o) ➔ G(f) e^-j2πft_o t_o∈ℝ

(l’ampiezza non cambia, cambia solo la fase)

Traslazione in frequenza

e^j2πf_ct a(t) ➔ G(f - f_c) f_c∈ℝ

Impulso a radio frequenza (RF)

Impulso a radio frequenza (RF)

a(t) = rect (t/T) cos(2πf_ct)

cos(2πf_ct) = 1/2 [e^j2πf_ct + e^{- j2πf_ct}] Eulero

a(t) = 1/2 rect (t/T) [e^j2πf_ct + e^{- j2πf_ct}]

G(f) = I/T sinc [T (f - f_c)] + I/T sinc [T (f + f_c)]

Aree sottese

Area sottesa da a(t)

∫_-∞^∞ a(t) dt = G(0)

Area sottesa da G(f)

∫_-∞^∞ G(f) df = a(0)

Differenziazione nel dominio del tempo

Differenziazione nel dominio del tempo

d/dt [a(t)] ➔ j2πf G(f)

dⁿ/dtⁿ [a(t)] ➔ (j2πf)ⁿ G(f)

Integrazione nel dominio del tempo

Integrazione nel dominio del tempo

∫_-∞^t a(t) dt ➔ 1/j2πf G(f) con G(0)=0

Parte reale e parte immaginaria

Parte reale e parte immaginaria

Re [a(t)] ➔ 1/2 [G(f) + G^*(-f)]

Im [a(t)] ➔ 1/2j [G(f) - G^*(-f)]

Teorema della modulazione

Teorema della modulazione

a₁(t) a₂(t) ➔ ∫ G₁(λ) G₂(f - λ) dλ

Teorema della convoluzione

Teorema della convoluzione

∫_-∞^+∞a₁(τ)a₂(t-τ)dτ → G₁(s)·G₂(s)

(la convoluzione si trova indicata al posto dell'integrale, come a₁(t) ★ a₂(t))

Moltiplicazione nel tempo → convoluzione