Preparazione all'esame di Fotonica

Fotonica – Prof. Ilaria Cristiani

Riassunto del suo libro “Note di fotonica” – Il laser

Capitolo 1

Sorgenti prima dell’invenzione del laser

Ogni atomo emette onde em in una direzione casuale à (sorgenti caotiche).

Laser: gli atomi emettono in modo cooperativo (luce monocromatica e collimata). à Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, si genera utilizzando un dispositivo basato sulla retroazione positiva.

Lo spettro delle onde elettromagnetiche

Intervallo delle frequenze (e quindi lunghezze d’onda) trattate dalla fotonica.

Unità di misura utilizzate:

• Frequenza [Hertz]
• Frequenza angolare [rad/s] = 2
• Lunghezza d’onda [m]
• Velocità della luce nel vuoto [m/s] =

Inoltre possiamo dire che l’energia elettromagnetica viene emessa e assorbita sempre in multipli di un quanto fondamentale onda em come un flusso di quanti chiamati fotoni. à

I fotoni sono delle quasi-particelle senza massa ma con:

• /01 /67 energia, con costante di Planck si misura in [eV]: ℎ ℎ = 6,63 ∙ 10 1 = 1,6 ∙ 10 à
• Quantità di moto, con vettore d’onda ℎ/2 k

Sorgenti di luce tradizionali

Dobbiamo immaginare che all’interno della sorgente gli atomi assorbono energia e, comportandosi come dipoli elettrici oscillanti, la rilasciano sotto forma di onde elettromagnetiche a frequenze ottiche. Le sorgenti tradizionali emettono questa luce su tutto l’angolo solido con uno spettro di frequenze molto ampio; vediamo come ricavare questo spettro.

Supponiamo di avere un corpo ideale costituito da una cavità chiusa (in grado di emettere radiazione em a tutte le frequenze) alla temperatura assoluta T; chiamiamo l’energia presente nella (, ) cavità nell’intervallo di frequenze [; + ]. Kirchhoff ha dimostrato che in questo corpo ideale (detto corpo nero) la radiazione em dipende solo dalla temperatura e non dal materiale o dalla forma della cavità, e Planck che questa radiazione può assumere solo valori discreti multipli del quanto fondamentale quindi:

ℎ;HDEFG 6 T/S0

Con costante di Boltzmann.

(, ) = = 1,38 ∙ 10QKLHI UMN OJ /6 VW X

• N

Derivando si ottiene che la frequenza del massimo della funzione è circa F/S

• Legge di Wien: = 0,288 ∙ 10 YZ[ 1

Due spettri a confronto: Il sole emette la maggior parte di energia nelle lunghezze d’onda visibili mentre la lampada ad incandescenza la maggior parte ce l’ha negli infrarossi (che noi non vediamo), per questo risulta poco efficiente.

Origine del laser

Abbiamo già detto che i laser producono luce monocromatica (emissione in fase) e collimata (in una precisa direzione).

Il primo oscillatore nel visibile, cioè il primo laser a rubino, è stato realizzato nel 1960 per poi dar via a invenzioni sempre più geniali come i laser a semiconduttori: piccoli, con grande efficienza, di lunga durata e utilizzabili in elettronica integrata; essi, inoltre, possono essere progettati per funzionare a lunghezze d’onda a scelta agendo semplicemente sulla composizione del materiale o sulla zona “amplificatrice”. Esistono anche laser accordabili in frequenza, cioè laser in cui è possibile variare la lunghezza d’onda muovendo un componente ottico nella cavità laser.

Per far funzionare i laser solitamente si usano segnali ad impulso, non segnali continui.

Un sotto-prodotto dei laser sono i LED (Light Emitting Diode), sorgenti fredde incoerenti di grande efficienza che stanno via via sostituendo le sorgenti tradizionali.

Proprietà degli oscillatori

Oscillatore: dispositivo attivo, ottenuto con un amplificatore in retroazione positiva, che genera un segnale sinusoidale ad una frequenza predefinita, di ampiezza stabile. Il laser quindi è un oscillatore che funziona a frequenze ottiche.

G guadagno dell’amplificatore S[() )] = + ( + + ⋯_ a a aS S 0= + + + ⋯a a a f||

Se allora si tratta di una serie geometrica convergente e viene chiamato < 1 = _ a 6/gf del sistema retroazionato; possiamo quindi dire anche che la guadagno di anello funzione di h fidell’amplificatore è .= trasferimento h 6/gfj

Supponiamo che non dipenda dalla pulsazione e che il guadagno G abbia risonanza alla frequenza fl (cioè in l’impedenza è puramente resistiva). L’amplificazione di potenza () =k k )o6ma(n/n lp|f |S l|()| sarà quindi chiamata anche che rappresenta proprio = funzione Lorentziana p p)6m(n/n o l l’andamento del guadagno (o assorbimento) in funzione della frequenza. ff ql

In questo caso la funzione di trasferimento sarà () = = l[6ma(n/n )o]/gf )o6ma(n/nl l l qf ol con e il guadagno aumenta e la banda diminuisce cosicché il prodotto = = à r rl 6/gf 6/gfl l banda-guadagno non cambia. 2

• Se la larghezza della banda tende a 0 in uscita si ha una sinusoide a frequenza → 1 à k k
• È la condizione di soglia dell’oscillatore in uscita abbiamo un segnale finito anche = 1 à k se il segnale in ingresso è infinitesimo
• Se l’oscillazione è data dal rumore nel sistema. > 1k

Il segnale in uscita non può mai diventare infinito dato che la potenza in uscita non può mai superare quella in ingresso!

Ricapitolando: 6(0)

Inizialmente abbiamo un guadagno di piccolo segnale >k g( ) man mano che S cresce il guadagno diminuisce fino a u k _ 6( ) raggiungere la situazione stazionaria data da cioè =k _ g guadagno ad anello chiamiamo questo punto = 1 punto àk dell’oscillatore. di lavoro stabile

Emissione e assorbimento di luce

Come già sappiamo, un atomo è formato da un nucleo carico positivamente e da una nube di elettroni negativi. Quando l’atomo si trova in equilibrio ad esso viene associata un’energia interna E , se esso 0 viene eccitato questa energia interna aumenta e ciò vuol dire che un elettrone si è spostato su un’orbita più esterna; sta di fatto che l’energia interna dell’atomo potrà avere sempre e solo valori discreti (E , E , E , …) e che la frequenza di radiazione elettromagnetica assorbita/emessa seguirà 0 1 2 v /vj M sempre la formula : =aW F

• Se l’atomo passa dallo stato k allo stato i esso assorbe un fotone (quanto di energia ) ℎaW
• Se l’atomo passa dallo stato i allo stato k esso emette un fotone (quanto di energia ). ℎaW

Consideriamo N atomi per unità di volume che si trovano sullo stato 0 e supponiamo di inviare t yun’onda monocromatica con frequenza ; chiamiamo il flusso di fotoni a frequenza ≍ Φ = .6k z{

Alcuni atomi assorbiranno un fotone portandosi dallo stato 0 allo stato eccitato 1; il numero di processi di assorbimento è proporzionale sia al numero di fotoni che al numero di atomi sullo stato 0, perciò l’assorbimento segue l’espressione:

k ()− = Φ Nk6 k

Dove il segno “-” indica che i processi di assorbimento diminuiscono la popolazione e è detta k62e ha unità di misura [m ]. Sezione d’urto.

L’atomo eccitato tende a tornare spontaneamente allo stato fondamentale 0 emettendo un fotone. Supponendo che all’istante t=0 si trovino atomi sul livello 1, il decadimento sarà esponenziale di costante di tempo (il suo 6k reciproco è la probabilità di decadimento per unità di tempo). L’emissione 6k segue l’espressione: spontanea

6− = 6k 6

Dove, anche questa volta, il segno “-” indica che la popolazione al livello 1 diminuisce. 3

Einstein ha inoltre dimostrato che devono esistere anche processi di stimolata, cioè processi nei quali delle radiazioni stimolano il emissione decadimento dell’atomo dallo stato 1 allo stato fondamentale 0 emettendo così un fotone. L’emissione stimolata segue l’espressione:

6 ()− = Φ N6k 6

Dove cioè le sezioni d’urto di emissione e di assorbimento sono uguali. = 6k k6

Dato che la radiazione emessa dall’emissione stimolata ha la stessa frequenza e lo stesso vettore d’onda della radiazione stimolante possiamo dire che l’emissione stimolata provoca un’amplificazione dell’intensità del fascio incidente.

Riassumendo:

• Se prevale l’assorbimento > k 6
• Se prevale l’amplificazione si ha inversione di popolazione. > à6 k

Nel caso di un insieme di atomi in equilibrio termico, il rapporto tra N ed N è sempre minore di 11 0KLƒl/‚ƒ e tenendo conto che la somma delle due popolazioni deve fare il numero di atomi iniziale = MN O‚l (cioè ) possiamo definire l’equazione generale del processo come:

+ = k 6 „6 = − . − . = Φ − Φ − k6 k k6 6 6k 6 )= Φ( − − Φ − = Φ( − 2 ) − k6 „ 6 k6 6 6k 6 k6 „ 6 6k 6(0)

Che non è altro che un’equazione differenziale. Se poniamo e costante per t>0, la = 0 Φ6 soluzione è:

Φk6 „ /(• mS• ‘)„() = Ž1 − ’ƒl lƒ6 + 2 Φ6k k6

E per le popolazioni valgono:

→ ∞ 6k1 + 1 Φ„ „ k6 = = = 6” k” „ Φ 2 ”6k 6k2+ 1+ 2 + Φ Φ Φk6 k6

• ƒl con Φ = flusso di saturazione. ” S•lƒ

Quindi, in presenza del flusso il materiale diventa meno Φ assorbente dato che la popolazione N diminuisce ma, nello 0 stesso tempo, dell’emissione stimolata cerca di compensare questo assorbimento. Con due livelli, comunque, N è sempre 1 minore di N e quindi non si ha mai inversione di popolazione. 0s

Quando il numero di processi di assorbimento è uguale Φ → ∞ a quello di emissione e quindi il materiale risulta trasparente.

Tutto il discorso fatto fino ad ora vale a patto che la sorgente del flusso sia un laser; una lampada non sarebbe monocromatica e quindi andrebbero inseriti degli integrali. 4

Amplificazione ottica

Abbiamo già detto che due livelli non bastano per ottenere inversione di popolazione quindi introduciamo un terzo livello eccitato. In fotonica prende il nome di pompaggio il processo che permette inversione di popolazione e il materiale che amplifica. Mezzo attivo.

Vogliamo ottenere inversione di popolazione tra il livello 0 e 1.

In presenza di un flusso luminoso a frequenze vicino a avviene Φ () • Sk assorbimento tra il livello 0 e 2 e il livello 1 si popola grazie al decadimento spontaneo tra 2 e 1.

L’inversione di popolazione si ottiene se il decadimento spontaneo tra 2 e 1 è più veloce di quello tra 1 e 0 (bottleneck) cosicché sul livello 1 siano sempre presenti degli atomi eccitati.

Equazioni di bilancio

6 = . 2 − . 1 = − S6 S 6k 6S ( )= − . − . = − − + kS• k kS• S Sk S6 S

Ricordando sempre che . + + = k 6 S „

Se poniamo a 0 le derivate otteniamo la condizione di inversione di popolazione:

+ + kS• Sk S66k1 − S6 kS• ⎛ ⎞ = − = ” 6” k” „ 2 + + kS• Sk S66k1+ ⎝ ⎠S6 kS•

• Dato che per avere amplificazione questo significa che il numeratore deve essere > 0” positivo e ciò avviene solo se . > S6 6k
• Se e tutti gli atomi vengono trasferiti al livello 1 ≫ ≫ + S6 6k kS• Sk S6 • m•• pl pƒ
• Se eguaglio a 0 il numeratore trovo il per la pompa: . = valore di soglia kS• 6k • /•pƒ ƒl

L’amplificazione con uno schema a tre livelli si ottiene quando sul livello 1 si trovano almeno metà degli atomi presenti (cioè /2). „

Uno schema a quattro livelli permette di ottenere amplificazione già quando sul livello 2 è presente un solo atomo (dato che il livello 1 è vuoto). In questo caso il pompaggio porta gli atomi dal livello 0 al livello 3, il livello 2 si popola dal decadimento spontaneo del livello 3 e l’azione laser avviene tra i livelli 2 e 1. Perché avvenga azione laser è necessaria l’inversione di popolazione ed essa avviene quando i decadimenti tra 3 e 2 e tra 1 e 0 sono rapidi mentre è lento il decadimento tra 2 e 1 (bottleneck).

Equazioni di bilancio

0 ( )= − . − . = − − − + + k0• k k0• 0 0k 06 0S 0S ( )= . 3 − . 2 = − + 0S 0 Sk S6 S6 = . 3 + . 2 − . 1 = + − 06 0 S6 S 6k 6

Ricordando sempre che . + + + = k 6 S 0 „ 5

Condizione di inversione di popolazione

(1 )− 6 k0• = − = >0” S” 6” „ + dato che A e A sono poco probabili S 0 k0• 31 20

Con: + + 06 S6 06 Sk 0S S6 S6 = ≍ <16 6k 0S 6k( + )( + + )S6 Sk 0k 06 0S =S 0S + + + 2 + 2 06 S6 06 Sk 0S 6k 6k S6 6k Sk =0 6k 0S

Il valore di soglia è nullo dato che, come detto sopra, appena un atomo passa sul livello 3 ho già ottenuto inversione.

Supponiamo di voler utilizzare un mezzo a quattro livelli per amplificare un fascio di luce monocromatica a frequenza che si propaga lungo l’asse z. ≍ S6

Φ = [. − ]Φ [ ]Φ() ()= − 6S S 6S 6

L’emissione spontanea viene trascurata dato che è in tutte le direzioni, quindi quella lungo z è una piccola parte, diciamo un “rumore”.

ž(G)Ÿ• La soluzione dell’equazione è: con Φ() = Φ () = ()( − )k 6S S 6

ž(G)¡• è il complessivo dell’amplificatore di lunghezza L. = guadagno

Schema e caratteristiche del laser

Abbiamo già detto più volte che l’oscillatore è creato ponendo un amplificatore in retroazione positiva; trattandosi di amplificatori ottici viene facile realizzarla perché basta utilizzare un sistema di specchi. Lo schema più utilizzato è la cavità Fabry-Perot formata da due specchi di cui almeno uno che permetta parziale trasmissione e non solo riflessione; inoltre perché il fascio rimanga intrappolato nella cavità è necessario che viaggi in asse se no dopo un certo numero di rimbalzi uscirebbe dalla cavità.

Pensiamo al fascio di luce come ad un’onda così da ricavare la condizione di soglia del laser (guadagno ad anello uguale a 1) guardando come variano ampiezza e fase dopo un giro completo nella cavità.

Ponendo l’origine dell’asse z sullo specchio 1 /an„

• Il campo elettrico entrante è () = k
• La distanza tra gli specchi è L
• r e r le