Piccola incursione nel mondo dei primi gemelli

Breve nota sui primi gemelli

Cristiano Teodoro

cristianoteodoro@virgilio.it

Una piccolissima incursione nel loro mondo.

Con il nome di numeri primi gemelli si indicano due numeri primi p₁ e p₂, con p₂ > p₁, tali per cui p₂ – p₁ = 2. Questa differenza prende il nome di “gap” in inglese.

Qui si vuole dare un piccolo elenco di primi gemelli di varie dimensioni, generati e verificati tramite l’algoritmo di Rabin-Miller [1], che, come è noto, è un algoritmo probabilistico con cui si può verificare con una probabilità alta a piacere se un numero è primo o composto e con l’ausilio del quale si possono anche generare numeri primi.

Ogni numero primo elencato e quindi ogni coppia di primi gemelli mostrata è stata trovata rispettando la seguente condizione:

La probabilità che il numero non sia primo è inferiore a 0.000000000000001, il che equivale a dire anche che la probabilità che tale numero sia primo è superiore a 0.999999999999999.

Non si ha quindi la certezza che i numeri primi elencati siano effettivamente tali. In effetti, per verificare o generare numeri primi grandi, composti anche da trecento e passa cifre, sono utilizzati, (vedi ad esempio il campo della crittografia), metodi di tipo probabilistico con i quali la primalità di un numero viene verificata con una probabilità così prossima al valore 1, e cioè alla certezza, da considerare in pratica primo il numero trovato.

Numeri primi gemelli

Vengono qui mostrati due elenchi di alcuni numeri primi gemelli di varie dimensioni, generati e quindi verificati con l’ausilio dell’algoritmo probabilistico di Rabin–Miller, realizzato tramite un apposito programma scritto in linguaggio QBasic, che qui non riportiamo per non appesantire questa breve nota. Si invita il lettore a segnalare se qualcuno dei primi mostrati negli elenchi non gli risultasse primo [2].

Per una conoscenza più dettagliata di questo algoritmo e per la verifica e la creazione di numeri primi relativamente grandi si rimanda il lettore al riferimento [3].

Su Internet esiste un vasto numero di siti riguardanti i numeri primi gemelli. Alcuni di essi sono riportati nei riferimenti.

Riferimenti

[1] M. O. Rabin, "Probabilistic algorithm for testing primality," - J. Number Theory, 12 (1980) pagg. 128÷138.

[2] F. Arnault, “Rabin – Miller Primality test: composite number which pass it” - Mathematics of Computation, Vol. 64 n. 209 (January 1995), pagg. 355 ÷ 365.

[3] C. Teodoro, “Verifica e generazione di numeri primi relativamente grandi” - La Comunicazione, Anno 2003, Volume LII – pagg. 113 ÷124.

Vedi anche http://www.comunicazioni.it