Il teorema dei numeri primi

Il teorema dei numeri primi

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 20/02/2008)

Pubblicato su Matematicamente.it Magazine n.5, Gennaio 2008

D

a millenni i numeri primi e le loro bizzarre proprietà stuzzicano la curiosità di matematici e

appassionati. I problemi in cui essi vengono tirati in ballo appaiono infatti talmente semplici nel

modo in cui possono essere espressi da risultare un continuo sberleffo nei confronti degli eminenti

matematici di tutto il mondo che tentano invano di risolverli. Basti pensare alle famosissime

congetture tuttora irrisolte di Goldbach (ogni numero pari maggiore di due si può esprimere come

somma di due primi) e dei primi gemelli (esistono infinite coppie di primi a distanza due). Solo

recentemente e con grande clamore è stata annunciata la dimostrazione del cosiddetto Ultimo

Teorema di Fermat (non esistono “terne pitagoriche” con esponenti maggiori di due), la quale

tuttavia si basa su artifici matematici talmente complessi da richiedere mesi e mesi di studio ai più

esperti matematici solo per intuire il percorso della dimostrazione!

I numeri primi non sono altro che una “base moltiplicativa” dell’insieme dei numeri naturali,

alternativa a quella additiva sulla quale esso è definito (la definizione formale dei numeri naturali

segue infatti il principio di induzione: ad ogni numero N ne segue un altro N+1, dato dalla somma

del precedente più uno. Così nascono i numeri 1, 2, 3, 4, 5, …, N, N+1, …). Nonostante i primi

compaiano in maniera assolutamente lineare nonappena si introduca nell’insieme dei naturali

l’operazione di moltiplicazione, per qualche oscura ragione essi sono come avvolti da un alone di

mistero che impedisce di comprendere a fondo i loro speciali intrecci. Fra i numerosissimi problemi

che si possono formulare riguardo ai numeri primi, ci occupiamo qui di presentarne uno che ha a

che fare con il loro “conteggio”: quanti sono i numeri primi? E, se sono infiniti, con quale tipo di

legge crescono? La risposta a questa domanda è stata trovata e va sotto il nome di Teorema dei

Numeri Primi. L’avventura che ha condotto eminenti matematici dei tre secoli scorsi, come Gauss,

Riemann, Hadamard e De la Vallèe Poussin, verso la dimostrazione del tutt’altro che semplice

risultato è stata talmente trasversale da chiamare in causa addirittura i numeri complessi e le più

avanzate tecniche analitiche che operano su di essi, tanto da condurre a formulare un altro celebre

problema, passato alla storia col nome di Ipotesi di Riemann.

Anzitutto è ragionevole domandarsi quanti siano i numeri primi, nel caso essi fossero solo un

numero finito. Su questo punto già Euclide nel IV secolo a.C. sollevò il primo velo, mostrando che

esistono infiniti numeri primi. La sua dimostrazione classica (a cui ne sono seguite decine di altre

nel corso dei secoli) è talmente semplice da poter essere esposta per intero. Supponiamo per assurdo

che esista solo un numero finito di numeri primi. Allora li possiamo elencare tutti dal più piccolo al

, p , p , …, p . Adesso andiamo a calcolare il numero

più grande: chiamiamoli p 1 2 3 n

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

N p p p p 1

K

1 2 3 n

N è divisibile per p ? No, perché la parte ove c’è il prodotto lo è, ma ad essa è aggiunto un 1, quindi

1 dà resto 1. E’ divisibile per p ? No, per lo stesso motivo di prima, in quanto

la divisione di N per p 1 2

il resto della divisione di N per p è 1. Questo vale evidentemente per tutti i p , quindi N non può

2 i

essere divisibile per nessuno dei numeri primi che abbiamo elencato. Allora deve essere un numero

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Flavio Cimolin – Il teorema dei numeri primi

primo esso stesso (oppure il prodotto di altri numeri primi diversi da quelli elencati), ma ciò va

contro la nostra ipotesi iniziale di aver potuto elencare tutti i numeri primi. Conclusione: esistono

infiniti numeri primi! Vale la pena osservare che la tecnica di Euclide serve a dimostrare che, dato

un insieme di numeri primi, esiste sempre un numero più grande che sia coprimo con essi (ovvero

che non abbia fattori comuni con alcuno di essi). Questo non significa che il numero N così

costruito sia esso stesso primo, come mostra chiaramente il seguente controesempio:

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = = ⋅

2 3 5 7 11 13 1 30031 59 509

Bene, ora che abbiamo dimostrato che i numeri primi sono infiniti, ha senso chiederci quanti

siano rispetto ai numeri naturali, nel senso che andremo subito a precisare. Ci sono vari modi di

confrontare tra loro insiemi infiniti, ad esempio seguendo la teoria di Cantor si potrebbe dimostrare

che i numeri primi hanno la stessa cardinalità dei numeri naturali; questo tuttavia ci sarebbe di poco

aiuto, in quanto per conoscere effettivamente qualcosa in più sulla distribuzione dei primi abbiamo

bisogno di un risultato quantitativo. Occorre cioè trovare un modo formale per indicare che, ad

esempio, i numeri pari sono “la metà” dei naturali, i multipli di tre sono “un terzo”, e così via, in

modo da poter dire anche “quanti sono” i quadrati perfetti, i cubi o i numeri primi appunto.

Il modo corretto di affrontare la questione dal punto di vista matematico è quello di definire un

“contatore” della tipologia di numeri che si vuole considerare, ovvero una funzione che indichi

quante occorrenze di numeri di quella specie ci sono fino ad un valore dato. Chiamiamo ad esempio

(n) 1 n n S (n) = n/2

S la funzione che indica quanti sono i numeri pari da fino ad . Se è pari, , se

pari pari

n S (n) = (n-1)/2 n

è dispari . Supponendo ora che diventi sempre più grande si può approssimare

pari S (n) ≈ n/2

considerando solo l’ordine di grandezza principale e dire che . Una procedura di questo

pari

genere è detta in gergo una “stima asintotica”, in quanto non fornisce il valore esatto, ma fornisce

un valore che è tanto più prossimo a quello giusto quanto più i numeri coinvolti crescono. Questo

modo di procedere costituisce esattamente la formalizzazione matematica di quello che abbiamo in

mente quando pensiamo che “i numeri pari sono la metà dei naturali”. E’ semplice osservare che

S (n) ≈ n/2 S (n) ≈ n/3

per i numeri dispari varrà analogamente , per i multipli di tre varrà , e

dispari tre

così via. Seguendo le regole delle stime asintotiche, non è difficile mostrare che per i quadrati

S (n) ≈ sqrt(n) S (n) ≈ log (n)

e per le potenze di due .

perfetti vale quadrati potenze2 2

Un modo perfettamente speculare di vedere la stessa cosa è quello di chiedersi quanto valga

n N (n) n

l’ -esimo numero di un certo tipo. Chiamiamo l’ -esimo numero pari. Invertendo la

pari

S (n) N (n) ≈ 2n

relazione per avremo che . Volutamente non abbiamo inserito il simbolo di

pari pari

uguaglianza, ma quello di approssimazione, in quanto, nell’ottica di sostituire i pari con i numeri

n

primi, non pretendiamo di conoscere esattamente il valore dell’ -esimo numero, ma ci

accontentiamo di averne una sua stima. Ecco perché, facendo lo stesso con i dispari, avremmo

2 n

N (n) ≈ 2n N (n) ≈ 3n N (n) ≈ n N (n) ≈ 2 N

; e poi , , . Le funzioni sono

dispari tre quadrati potenze2 xxx

S

esattamente le inverse delle funzioni , capito come funziona il gioco?

xxx S (n) N (n)<