Passeggiate aleatorie

Passeggiate aleatorie

Una passeggiata aleatoria è un percorso dove ogni passo ha una direzione casuale e possibilmente anche una dimensione casuale.

Queste passeggiate aleatorie, a caso, servono come modelli per studiare fenomeni variabili come la diffusione, l'altalena dei valori di borsa, ecc.. In questa sezione illustreremo alcune passeggiate aleatorie in una o due dimensioni.

Una passeggiata aleatoria a una dimensione

La passeggiata aleatoria più semplice è quella unidimensionale che rappresenta il punteggio totale di un gioco a testa o croce. Il giocatore A ottiene +1 se vince e –1 se perde, e daremo per scontato che la moneta sia perfetta.

N

Ogni passo nel percorso è +1 o –1, e la posizione dopo passi rappresenta il vantaggio (o svantaggio) del giocatore A.

Ciò che segue è un percorso tipico, rappresentato in due dimensioni ponendo sull'asse orizzontale il numero dei passi. Abbiamo calcolato la percentuale dei passi in cui il giocatore "A" è in testa per illustrare una proprietà interessante di questa passeggiata aleatoria.

L è la percentuale su 500

Ecco un tracciato di una passeggiata unidimensionale. Ogni passo è +1 o –1.

passi, in cui il giocatore A è in testa.

Percentuale del numero di volte che A è in vantaggio:

L = 91.6 %

70

0

70 0 100 200 300 400 500

Se si ripete questo esperimento 15 o 20 volte, si noterà qualcosa di interessante: normalmente un giocatore oppure l'altro rimane in vantaggio per la maggior parte del tempo. È abbastanza raro che il vantaggio sia diviso in parti uguali.

Una passeggiata in due dimensioni

Un esempio bidimensionale di questa semplice passeggiata aleatoria porta i passi unitari in direzioni a caso, a cominciare dall'origine.

Per tracciare un simile percorso è meglio rappresentare i punti come numeri complessi, e tracciare la parte reale contro la parte immaginaria.

Poiché questa passeggiata ci porterà spesso abbastanza lontano dall'origine, inizieremo con un esempio che sarà delimitato da un quadrato. Se un passo ci portasse al di fuori del quadrato, invertiremo la direzione di quel passo.