Particella all istante t

Descrizione del moto di una particella

La posizione di una particella all'istante t nello spazio è descritta, in un sistema di assi cartesiani, dalla funzione dove abbiamo usato i versori dei tre assi cartesiani (i, j, k).

Calcolo dei vettori velocità e accelerazione istantanea

Si calcolino i vettori velocità istantanea e accelerazione istantanea. Si calcolino poi i moduli della velocità e dell'accelerazione all'istante t=3.

Derivata del vettore posizione

Per trovare il vettore velocità istantanea, in funzione del tempo, basta utilizzare la definizione dove la derivata di un vettore è definita come:

Da questa definizione, dato un vettore

A(t) = A_x(t) · i + A_y(t) · j + A_z(t) · k

di componenti cartesiane A_x, A_y, A_z funzioni del parametro t, la sua derivata rispetto a t è semplicemente

d/dt A(t) = dA_x(t)/dt · i + dA_y(t)/dt · j + dA_z(t)/dt · k

cioè basta calcolare la derivata delle singole componenti. Nel caso in questione si ha, per la velocità,

v̅ = d/dt x̅ = d/dt (5t²) · i̅ + d/dt (-1/2t) · j̅ + d/dt (te^t) · k̅

Calcolo delle derivate

Le tre derivate sono, banalmente,

• d/dt (5t²) = 10t
• d/dt (-1/2t) = -1/2
• d/dt (te^t) = e^t + te^t = (1 + t)e^t

e dunque si ha

_v(t) = 10t · i + -1/2 · j + (1 + t)e^t· k

Calcolo del vettore accelerazione

Per il vettore accelerazione istantanea si ha, analogamente,

_a(t) = 10 · i + (2 + t)e^t· k

infatti

• d/dt(10t) = 10
• d/dt(-1/2) = 0
• d/dt((1 + t)e^t) = (1 + t)e^t + e^t = (2 + t)e^t

Modulo del vettore velocità

Il modulo del vettore velocità è

v(t) = |_v(t)| = √((10t)² + (-1/2)² + ((1 + t)e^t)²)

v(t) = √(100t² + 1/4 + (1 + t)²e^2t)

all'istante t = 3 s fornisce il risultato cercato.