Parte 1, Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

Name: Parte 1, Metodi analitici e numerici per l'ingegneria
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Appunti di Metodi analitici e numerici per l'ingegneria, prima parte, per l'esame della professoressa Cerutti. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la conduzione di calore, la legge di …

Esame Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Cerutti Maria Cristina

Università Politecnico di Milano

A.A. 2014-2015

144 pagine

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Estratto del documento

Seconda parte 2/12/14: conduzione di calore

Anche qui abbiamo un modello matematico. Possiamo scomporlo, per realizzarlo, in 2 tipologie di "mottoni":

Legge di carattere generale (Newton, Leggi di conservazione, ecc)
Leggi costitutive specifiche (Hooke, Fourier, ecc)

e: calore per unità di massa al tempo t e = e(x̄, t) x̄ ∈ R³ (R³ o R)

ρ = costante. densità di massa

Seconda parte 2/12/14: conduzione di calore

Anche qui abbiamo un modello matematico. Possiamo scomporlo, per realizzarlo, in 2 tipologie di "mottoni":

Legge di carattere generale (Newton, Leggi di conservazione, ecc)
Leggi costitutive specifiche (Hooke, Fourier, ecc)

e: calore per unità di massa al tempo t

e = e(x, t)

x ∈ ℝ³ (ℝ² o ℝ)

p = costante densità di massa

Conservazione e flusso di calore

Per studiare il fenomeno utilizzerò un'eq. di conservazione:

La variazione all'interno del corpo deve eguagliare il calore entrato/uscito dal corpo D.

Flusso di calore

Energia totale in V al tempo t:

∫_V e(x,t)·ρ·dx

quindi la variazione di energia totale in V:

d/dt ∫_V e(x,t)·ρ·dx = ∫_V ∂/∂t e(x,t)·ρ·dx = dƶ: variabile di integrazione specifica

∫_V ∂e/∂t (x,t)·ρ·dx

Vuol dire derivata rispetto al tempo

Flusso di calore attraverso la frontiera (∂V), più il contr. fonti esogene

N.B. Attraverso:

La frontiera: ∂V
Il volume: V

Ci interessa il flusso di calore che esce in maniera normale dalla frontiera.

Scriviamo il flusso:

∫_v q · m dσ = − ∫_v div q · dx Teo. della divergenza

⇒ ∫_v e_f(x, t) · ρ · dx = − ∫_v div q · dx + ∫_v r · ρ · dx

r: quantità di energia per unità di massa e di tempo da fonti esogene.

Poiché V è un volume to arbitrario in D, l'uguaglianza può essere scritta senza gli integrali:

C_t · ρ = - div q + r · ρ

Leggi costitutive

μ: temperatura

Fourier

q̅ = -k grad μ

k > 0

grad: solo spaziale

e = Cμ

C M_t = k div(grad μ) + r_C ρ

Se X̅ = (x, y, z)

e grad μ = (M_x, M_y, M_z)

⇒ div(grad μ) = M_xx + M_yy + M_zz = Δμ (operatore di Laplace)

⇒ M_t = k/C · Δμ + r/C ρ

Equazione di diffusione

M_t - k·Δμ = f(t,X̅)

X̅ ∈ D

t > 0

Esempio (questo!) di un'eq. differenziale alle derivate parziali (PDE) di II^o ordine lineare.

Problema ben posto

Quando un problema si dice ben posto:

Soluzione: ∃ e ∀
Stabile

Condizioni per un problema ben posto:

Cauchy

m(²,o) = g(x) + condizioni al bordo (*)

(*) ne abbiamo 4:

Condizioni al bordo

Dichlet:

u_|∂D(²,t) = h₁(²,t) &xisin; ∂D, t > 0

Prescrivere la T°

Neumann:

∂m &mapsto; u_|∂D(²,t) = h₂(²,t)

Prescrivere il flusso di calore attraverso la frontiera

Misto:

Prescrivere la T° su una parte di frontiera, e il flusso su un'altra.

Robin:

u_n(²,t) ∝ (U - u(²,t)) &xisin; ∂D, t > 0

Prescrivere le radiazioni

U: temp. ambiente circostante

Soluzione dell'equazione di diffusione

μ è soluzione se ho il n° di derivate coinvolte nell'eq., continue e se sostituite nell'eq. mi danno un'identità.

μ ∈ C^2,1 (D x (0,+∞))_Ω

2: derivate spaziali

1: temporale continue

Teorema: Se f, h₁, h₂ sono continue, allora ∁D, ∁N, ∁M, ∁R sono ben poste per l'eq. di diffusione; μ_t - KΔμ = f in D x (0,+∞)

con μ ∈ C^2,1 (Ω)

Caso monodimensionale

Un filo che occupa un segmento nell'asse x, di lunghezza L; μ=μ(x,t)

⇒ μ_t - Kμ_xx = f(x,t)

in (0,L) x (0,+∞) = Ω_{prodotto cartesian}

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