Appunti di Metodi numerici - Parte 1

Un'equazione differenziale semplice (soluzione analitica)

dy/dt = -a · y

y(t) è reale; t è reale; a è reale positivo.

La grandezza dipende dal tempo.

Variabile indipendente.

Parametro del problema.

Quando y → 0, la variazione di y nel tempo tende ad essere molto piccola.

Per risolvere l'eq. differenziale, e quindi calcolare la variazione dy, dobbiamo specificare una condizione iniziale:

t = 0 y(0) = y₀ → condizione iniziale (IC)

Per questa eq. c'è una soluzione analitica perché è una differenziale ordinaria lineare (ODE) ad e:

y(a) = y₁ e^-a·t → soluzione analitica

Non sempre abbiamo una soluzione analitica.

Tecniche di soluzione numerica

La soluzione è approssimata (riduce un certo errore).

Le soluzioni numeriche sono funzioni discrete, mentre la soluzione analitica è una funzione continua nel tempo.

Cerca la successione di valori y1, y2, y3, y4, y5, ... e non cerca per le funzioni y(t) nel tempo reale.

t = 0, t = Dt, t = 2Dt, t = 3Dt, t = 4Dt

Prof. Giorgio Bellotti      19/09/2022

2 esoneri: novembre e dicembre

Un'equazione differenziale semplice (soluzione analitica)

_dy/_dt = -c . y

y(t) è reale; t è reale; c è reale positivo.

La grandezza dipende dal tempo.

Variabile indipendente.

Parametro del problema.

Quando y → 0 la variazione di y nel tempo tende ad essere molto piccola.

Per risolvere l'eq. differenziale, e quindi calcolare la variabile _dy/_dt, dobbiamo specificare una condizione iniziale:

t = 0    y(0) = y₀   →   condizione iniziale (IC)

Per questa eq. c'è una soluzione analitica perché è una differenziale ordinaria lineare (ODE) ad c.

y_a(t) = y₀ e^{-c . t} → soluzione analitica

Non sempre abbiamo una soluzione analitica.

Tecniche di soluzione numerica

La soluzione è approssimata (racchiude un certo errore).

Le soluzioni numeriche sono funzioni discrete mentre la soluzione analitica è una funzione continua nel tempo.

Cerca la successione di valori y₁, y₂, y₃, y₄, y₅ e non cerca più la funzione y(t).

Successione di valori reali.

Mi devo riscrivere l’equazione differenziale in funzione dei valori y₁, y₂, y₃, y₄, y₅…

_dy/_dt = -αy

Discretizzazione dell'equazione

RHS scritto al livello temporale 3:

-αy → -αy₃

LHS scritto al livello temporale 3:

_dy/_dt |_{t = t3} = lim_{Δt→0 y(t3+Δt) - y(t3)} / _Δt

= lim_{Δt→0 y(t4) - y(t3)} / _Δt

= lim_{Δt→0 y4-y3 ≈ y4-y3} / _Δt (per una ridotta ) _y1-y3 / _Δt

Allora _dy/_dt=-αy₃ si può scrivere in maniera approssimata come:

_y4-y3 / _Δt = -αy₃ → abbiamo approssimato e discretizzato un po’,

In generale: _yi+1-yi / _Δt = -αy_i → Esercizio algebrico o numerico

La soluzione è: y_i+1 = y_i + Δt[-αy_i]

→ (detto) di avanzato del tempo Metodo di Eulero

Applico il metodo di Eulero

Applico il metodo di Eulero

y₂ = y₁ + Δt ⋅ (-a y₁)

y₃ = y₂ + Δt ⋅ (-a y₂)

y_n = y₃ + Δt ⋅ (-a y₃)

dy/dt = -a⋅y_i² → (y_i+1-y_i)/Δt = -a y_i² → y_i+1 = y_i+ Δt (-a y_i²)

Calcoli con Excel

Piano a fare i calcoli con Excel.

Δt = 0.1 y₁ = 21 a = 1.9

Aumentando il Δt la soluzione analitica e quella numerica tendono ad essere molto diverse tra loro, quella numerica arriva ad un valore assurdo! Ciò è dovuto al problema di stabilità del metodo numerico (indici della soluzione numerica oscillano, questo non va bene!)

Errore nei modelli numerici

Come si misura l'errore nei modelli numerici? dy/dt = -a y y(0) = y₁

Nella forma discreta dobbiamo vista che il tempo t_f: y_j - y₂ - y₁ = -a y₁ Δt

Questa operazione è questa approssimazione e "giusta" y