Parallelogrammi - Proprietà

Teoremi sui parallelogrammi

1) Nel parallelogramma i lati sono a due a due paralleli

Una volta disegnato il parallelogramma ABCD, si sa che:

AB = CD

CB = AD

Si vuole dimostrare che:

BC // AD

AB // CD

Tracciamo la diagonale AC. I due triangoli ADC e ABC sono uguali per il terzo criterio di congruenza. Essi hanno infatti:

AB = CD

AD = CB

AC in comune.

Essendo congruenti, i due triangoli hanno anche angoli uguali.

Quindi, ad esempio: ACB = DAC. Questi due angoli sono tra loro alterni interni.

L'unico modo per cui angoli alterni interni siano uguali è che AB // CD.

In modo analogo si dimostra che BC // AD.

Variante

Utilizziamo come ipotesi di base il fatto che gli angoli sono a due a due uguali:

A = C

B = D

Si sa che: A + B + C + D = 360°

2*A + 2*B = 360° = 2* 180°

A + B = 180°

A e B sono quindi coniugati interni supplementari. Lo stesso C e D. Dunque AB//CD.

2) Nel parallelogramma i lati sono a due a due uguali tra loro

Disegnato il parallelogramma, si assume per ipotesi di base:

AB//CD

BC//AD

Vogliamo dimostrare che AB = CD e BC = AD.

A B C D 1 2 3 4

Tracciata la diagonale AC, i due triangoli ACD e ABC formati sono tra loro uguali per il secondo criterio di congruenza. Essi hanno infatti:

AC in comune;

1 = 2

3=4

Quindi AB = CD e BC = AD.

3) Nel parallelogramma gli angoli sono a due a due uguali tra loro e gli angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari

Disegnato il parallelogramma, A = C e B = D, poiché vengono ad essere gli angoli alterni interni di due rette parallele tagliate da una trasversale (vedi procedimento illustrato nella dimostrazione precedente).

Inoltre:

B + C = 180°

A + B = 180°

In quanto angoli coniugati interni di due rette parallele tagliate da una trasversale. Con questa stessa dimostrazione ne deriva che: A = C in quanto supplementari di un medesimo angolo.

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4) Nel parallelogramma le diagonali si tagliano a metà

Disegnato il parallelogramma ABCD, vogliamo dimostrare che:

AM = MCBM = MD

I triangoli DMC e AMB sono tra loro identici, per il secondo criterio di congruenza.

Infatti:

AB = CDMDC = MBAMCD = MAB.

Il teorema è dunque dimostrato.

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