Triangoli - Teoremi vari

1) Teorema: il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed uguale alla metà di questo

C M

N P

A B

Assumendo che:

AN = NC

CM = MB

PB // NA

Si vuole dimostrare che:

MN // AB

MN = ½ AB

Consideriamo i triangoli MBP e CMN.

Essi sono uguali, perché:

BM = CM;

CMN = PMB, poiché opposti al vertice,

MBP = MCN, poiché alterni interni, formati da due rette parallele tagliate da una retta trasversale.

Essendo uguali i due triangoli, NM = MP.

ABPN è quindi un parallelogramma → NM // AB.

Di conseguenza: NP = AB → NM = NP/2 = ½ AB.

2) Teorema

La seguente dimostrazione si basa su un precedente teorema dei parallelogrammi che qui di seguito non verrà però dimostrata, ma accettata come ipotesi:

“Se in triangolo CKB si conduce per il punto medio M del lato CB la retta MN parallela a BK, questa taglia il lato CK nel suo punto medio e”

Detto questo, tracciato il triangolo CKB, costruiamo a partire dal lato CK un parallelogramma, i due lati DC e AK hanno lunghezza a scelta. Il segmento MN congiunge i punti medi dei lati CB e AD.

C

D M

N B

A K

È ovvio che, per come è stata costruita la figura:

DN = NA

CM = MB

CK // AD

Vogliamo dimostrare che il segmento NM è la metà della somma di DC ed AB.

Per il precedente teorema: CE = EK.

Inoltre, secondo il teorema che afferma che “il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed uguale alla metà di questo”:

EM // KB

EM = ½ KB

Ora, NM = NE + EM.

Quindi NM = ½ (DC + AK) + ½ KB

NM = ½ (DC + AK + KB) = ½ (DC + AB).

3) Teorema: l’ortocentro è il punto d’incontro delle altezze di un triangolo

Disegnato il triangolo ABC, si tracciano da A, B e C le parallele ad AB, CB ed AC.

Chiamiamo R, S e P i punti di incontro di queste rette.

C R

P O B

A S

Poiché PR // AB, PS // CB e RS // AC, PCBA è certamente un parallelogramma. Quindi PC = AB.

Anche ABRC è un parallelogramma. Perciò CR = AB.

Se ne conclude che PC = CR.

Consideriamo ora il triangolo PRS.

Tracciamo da C l’asse di PR. CH è dunque l’altezza del triangolo ABC relativa al lato AB.

Tracciamo anche gli assi di RS e PS, che sono le altezze dei lati AC e CB.

Si sa che gli assi del triangolo si incontrano in un unico punto.

Questo vale allora anche per le altezze del triangolo ABC.