Appunti Matematica per la formazione di base 2

Matematica per la formazione di base

Parte uno: Probabilità

Approccio frequentista o statistica

• Prove effettuate devono essere moltissime
• Vengono svolte nelle stesse condizioni
• A volte non possono esser svolte più prove
• Legge dei grandi numeri: più prove fai, più il risultato è vicino alla probabilità

Approccio della probabilità classica

P(evento): Analizzo tutti i casi possibili e tengo solo i favorevoli. I casi devono essere equiprobabili.

Probabilità condizionata

Quella probabilità che calcolo, avendo però un’informazione in più; sapendo cosa è successo prima.

Paradosso

Efraim Fischbein distingue due tipi di intuizioni:

• Primarie: senza educazione scientifica in matematica
• Secondarie: dopo una riflessione sull’argomento

Evento

Qualsiasi sottoinsieme dello spazio degli eventi (Ω). Il numero di eventi possibili si calcola facendo in cui numero dei casi. ⊆ 0 ≤ () ≤ 1. E Ω (sottoinsieme) {3}

Eventi elementari

I singoletti di Ω. Sono gli eventi fatti da un solo caso possibile. Esempio {1; 2; 5}

Eventi composti

Quegli eventi fatti da più casi possibili.

Evento complementare

Quando si verifica l’evento opposto. “Non si è verificato A” = evento complementare. Ω - P(A) + P( ) = Ω = 1 (100%) → evento certo

Eventi incompatibili o disgiunti

“A e B non possono verificarsi contemporaneamente”. A ∩ B = ∅

Spazio campionario o spazio degli eventi

Contiene l’insieme dei casi possibili. Può anche indicare un evento certo. { } ≠ ∅ oppure evento impossibile

• P(∅) = 0 “La probabilità di un evento impossibile è zero, ovvero 0%”
• P(Ω) = 1 “La probabilità di un evento certo è uno, ovvero 100%”

Probabilità di B sapendo che è successo A

P(B|A) si calcola quando B è influenzato dall'evento A.

Intersezione di eventi

A ∩ B = Intersezione. “Si sono verificati entrambi/contemporaneamente sia A che B”

Unione di eventi

A ∪ B = Unione. “Si è verificato almeno un evento tra A o B”

Teorema della probabilità totale

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Se A B = ∅ (sono indipendenti), allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Teorema della probabilità condizionata

A e B non sono indipendenti ma si influenzano perché se so cosa è successo, allora ho più/meno possibilità di vincere. P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Se A e B sono indipendenti, allora:

• P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)

Esempi

Errore di D’Alembert

“Vinco se esce almeno una testa nel lancio di due monete”. Secondo lui hai 3 possibilità: 2 vinci e una perdi. Probabilità = 2/3.
Sbaglia perché non considera tutte le possibilità: ce ne sono 4, 3 vincenti e una in cui perdi. Probabilità = 3/4.

Paradosso di Monty Hall

“Ci sono tre porte e dietro una c’è un premio. Fatta la scelta, il presentatore ne apre una certamente sbagliata. Conviene cambiare la scelta?”
Conviene cambiare perché in quel caso si ha il 67% di probabilità di vincere: se cambio vinco 2 volte su 3. Se non cambio vinco 1 volta su 3.

Parte due: Statistica

Campione significativo

Collettivo scelto in modo casuale

Cultura statistica

Capacità di comprendere e usare correttamente i dati e le informazioni statistiche per trasformarle in conoscenza

Popolazione obiettivo

La popolazione con riferimento alla quale siamo interessati ad ottenere informazioni.

Popolazione statistica

Quella su cui svolgiamo effettivamente l’indagine, poiché disponiamo di una lista delle unità che la compongono.
La popolazione statistica deve essere il più possibile aderente alla popolazione obiettivo.

Unità statistica

Unità elementare su cui vengono osservati i caratteri

Modalità

Possibili esiti di una misurazione

Variabile o carattere

Caratteristica di interesse della popolazione statistica. Si divide in:

1. Qualitative a loro volta si dividono in:
   • Nominali: non esiste un ordine implicito
   • Ordinali: esiste un ordine implicito (es. indici di gradimento, mesi dell’anno, titolo di studio, ecc...)
2. Quantitative a loro volta si dividono in:
   • Discrete: numeri interi
   • Continue: tutti i valori dell’intervallo

Rilevazione totale

Tutte le unità della popolazione

Rilevazione campionaria

Sottoinsieme di unità della popolazione, che ottiene informazioni su tutta quest’ultima (da questi si ricava una stima: valore approssimato)

Campione probabilistico

• Casuale semplice: zero vincoli
• Stratificato: da sottogruppi di caratteristiche uguali si estrae a sorte
• A stadi: da sottogruppi casuali si estrae a sorte

Campione non probabilistico

• Di convenienza: unità più facili da raggiungere

Statistica descrittiva

Serve a sintetizzare la massa di dati

Statistica inferenziale

Da un campione si ottengono informazioni su una popolazione più ampia

Frequenze

• Frequenze assolute: numero di volte che ciascuna modalità viene osservata
• Frequenze relative: peso relativo delle modalità nel collettivo. Sono proporzioni. Il totale dei casi deve essere uguale a 1.
• Frequenze relative percentuali: valore percentuale delle frequenze relative. Sono percentuali. Il totale dei casi deve essere uguale a 100%.
• Frequenze cumulate: somma delle frequenze alle frequenze precedenti queste (valori devono essere qualitativi ordinabili o quantitativi)

Ampiezza e densità di frequenza

Ampiezza: quanto è ampia ciascuna classe (esempio: 140 -|150 ampiezza: 150-140=10)

Densità di frequenza: è l’addensamento delle unità di rilevazione in ogni punto del campo di variazione

Classi

1. Ordinare le modalità e individuare l’estremo inferiore e superiore
2. Calcolare il range (d) di variazione, ovvero la differenza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore
3. Scegliere il numero di classi in cui suddividere il collettivo oggetto di studio. L’ampiezza di ciascuna classe sarà uguale a √

Esempio: 3|- 4 : il 3 è compreso, il 4 no (0,2]: il 2 è compreso, lo 0 no 3|-|4 : sia il 3 che il 4 sono compresi 3-|4 : il 4 è compreso, il 3 no

Indici di centralità o posizione

Sintetizzano la distribuzione in un singolo valore. Sono:

• Moda (Mo): carattere che si presenta con la frequenza più alta
• Media aritmetica (x̄): valore che divide equamente il totale complessivo
• Media in caso di variabile quantitativa continua suddivisa in classi. Procedimento:
  1. Calcolare il punto medio di ogni classe + X = c
  2. Calcolare la media aritmetica moltiplicando X per la frequenza assoluta di ciascuna modalità. Sommarle tutte e dividerle per il numero totale di frequenze (n).
• Mediana (Me): in un insieme di valori ordinati, la mediana è il valore che sta al centro. Nelle frequenze relative cumulate, la mediana è il primo valore che è maggiore di 0,5 (=50%).
• Quartili (Q₁, Q₂, Q₃): sono tre valori che dividono la distribuzione ordinata in quattro parti (25%, 50%, 75%). Si calcolano a partire dalle frequenze cumulate

Indici di dispersione o variabilità

Indicano in che misura i valori di una distribuzione sono distanti dal valore centrale. Sono:

• Campo di variazione (o gamma o range): distanza tra il valore massimo e quello minimo che una variabile può assumere
• Differenza interquartile: distanza tra Q₃ e Q₁ (che racchiude il 50% dei valori)
• Varianza: valore medio degli scarti (singole modalità - media) al quadrato.
1. Calcolo la media
2. Calcolo lo scarto dalla media di ciascuna osservazione
3. Elevo al quadrato ciascuno scarto
4. Sommo tutti gli scarti
5. Divido la somma per n, numero totale di osservazioni
• Deviazione standard o scarto quadratico medio: radice quadrata della varianza
• Coefficiente di variazione: rapporto tra la deviazione standard e il modulo della media

Parte tre: Geometria

Capitolo 1: Introduzione alla geometria

Geometria = creazione umana. Importanti i fondamenti.