Numeri illimitati periodici

Numeri illimitati periodici

I numeri illimitati periodici sono quei numeri razionali espressi sotto forma di numeri reali, la cui parte decimale si ripete all’infinito.

I numeri illimitati periodici possono essere:

• Semplici: se dopo la virgola, c’è la cifra o il gruppo di cifre che si ripete infinite volte;
• Misti: se dopo la virgola, ci sono altre cifre che precedono la cifra o il gruppo di cifre che si ripete infinite volte.

Si può quindi affermare che un numero periodico illimitato è formato dalle seguenti parti:

• Parte intera, ovvero la cifra o il gruppo di cifre che si trova prima della virgola;
• Periodo, ovvero la cifra o il gruppo di cifre che si ripete infinite volte;
• Antiperiodo, ovvero la cifra o il gruppo di cifre che precedono il periodo e seguono la virgola.

Dall’affermazione data per i numeri illimitati periodici misti, si può dedurre che l’antiperiodo è presente solo nei numeri illimitati periodici misti.

Per convenzione, la cifra o il gruppo di cifre che si ripete infinite volte va rappresentata nel seguente modo:

0,1111111111111… = 0,(1) che equivale a rappresentare la cifra del periodo (quella tra le parentesi tonde) con un trattino sopra.

Altri esempi

0,7488888888888… = 0,74(8), dove 0 è la parte intera, 74 è l’antiperiodo e 8 è il periodo;

0,5645454545454… = 0,56(45), dove 0 è la parte intera, 56 è l’antiperiodo e 45 è il periodo;

814,73131313131… = 814,7(31), dove 814 è la parte intera, 7 è l’antiperiodo e 31 è il periodo.

Ogni numero illimitato periodico è una rappresentazione particolare di un numero razionale; quindi, ogni numero illimitato periodico può essere trasformato nella sua frazione generatrice.

Frazione generatrice di un numero illimitato periodico: è una frazione che ha per:

• Numeratore: differenza tra il numero scritto senza virgola e le cifre che seguono il periodo e precedono la parte intera scritte anch’esse senza virgola;
• Denominatore: tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Successivamente, se possibile, la frazione può essere semplificata.

Esercizi svolti: trasformare il numero illimitato periodico in una frazione

411−41 370

=

¿

1) 41,(1) 9 9

178−17 161

=

¿

2) 1,7(8) 90 90

721−72 649

=

¿

3) 0,72(1) 900 900

714−7 707

=

¿

4) 0,7(14) 990 9900