Sistemi di numerazione oltre il decimale: Un'esplorazione delle basi numeriche alternative

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

Basi numeriche non decimali Stefano Borgogni

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Sunto

Il presente articolo tratta il tema della numerazione in basi diverse da quella decimale, con l’intento di evidenziarne alcune regole, ricorrenze, curiosità.

Per brevità, saranno trattate solo alcune basi numeriche e tra queste, per motivi che saranno chiariti più avanti, sarà approfondita in modo particolare la base 12.

Prima di affrontare l’argomento, due precisazioni:

1. Per limitare le ambiguità insite nel tema trattato (“25” indica il numero decimale venticinque o il numero composto dalle cifre “2” e “5” in altra notazione?), si userà il carattere corsivo per indicare i numeri scritti in una base non decimale, tralasciando soluzioni come l’uso del pedice, che rischiano di appesantire troppo il testo.
2. Per rappresentare le cifre maggiori di 9 nelle basi superiori a quella decimale saranno utilizzate, nell’ordine, le lettere dell’alfabeto: A, B, C e così via.

Introduzione

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per rappresentare i numeri e le operazioni che si possono effettuare su di essi. Presso tutte le culture con qualche forma di organizzazione sono state sviluppate notazioni numerali, talora assai rudimentali, fino ad arrivare al sistema oggi più diffuso, quello posizionale decimale.

Vale la pena ricordare la differenza fondamentale tra un sistema additivo, come quello usato dai romani, in cui un simbolo rappresenta sempre la stessa quantità, e un sistema posizionale in cui, invece, ogni simbolo assume un diverso valore a seconda della posizione in cui si trova.

Così, ad esempio, mentre nel numero romano XXX le tre cifre X valgono tutte 10 e, dunque, il numero corrisponde al nostro 30, nel sistema decimale il valore effettivo di 444 non è la somma 4+4+4, ma:

4×10² + 4×10¹ + 4×10⁰.

Il sistema decimale

Com’è noto, l’affermarsi della base 10 tra i sistemi posizionali si deve al fatto che le mani umane hanno 5 dita ciascuna. Anche il sistema numerico dell’antico popolo Maya, che era in base 20, ha la stessa origine, ma in questo caso venivano contate anche le dita dei piedi.

Nella storia sono state utilizzate anche basi diverse, delle quali restano ancora oggi tracce evidenti nella vita quotidiana, come il sistema sessagesimale dei babilonesi, usato nel calcolo del tempo (minuti, secondi) e degli angoli, ma la base 10 ha finito per prevalere ovunque.

Oggi il sistema decimale è considerato talmente “ovvio” che spesso non si pensa nemmeno alla possibilità di eseguire calcoli con un sistema diverso. Ma come sarebbe la matematica se gli uomini avessero 4 dita per mano, oppure 6, oppure avessero 3 mani composte da 3 dita ciascuna?

Basi numeriche “vicine” a 10

Operando in una base b diversa da 10, l’ordine di grandezza dei numeri, l’equivalente delle nostre unità, decine, centinaia etc., viene definito dalle successive potenze di b. Ad esempio, il valore del numero 234 in base 8 è dato da:

2×8² + 3×8¹ + 4×8⁰ = 128+24+4 = 156 (in notazione decimale).

Proviamo ad esaminare più in dettaglio proprio la base 8 e le altre basi più vicine, come numero di cifre, a quella decimale.

1 Altri esempi, relativi alla base 12, saranno ripresi più avanti. 1

Basi numeriche non decimali S. Borgogni

Il sistema ottale

Immaginiamo un mondo in cui l’uomo abbia solo 4 dita oppure gli esseri pensanti siano simili ai polipi con i loro 8 tentacoli. La numerazione, allora, seguirebbe con ogni probabilità il sistema ottale, comprendente appunto otto cifre, da 0 a 7.

Vediamo la tavola pitagorica completa relativa alla numerazione in base 8.

Numeri in base 8 - tavola pitagorica

Le cifre terminali dei multipli di 2 e 6 si ripetono seguendo le successioni 6-4-2-0 e 2-4-6-0.