Estratto del documento

Numeri complessi

Definizione

L’insieme dei numeri complessi è definito come l’insieme di tutte le coppie di numeri reali,

ossia C = R × R

Su C sono definite due operazioni interne, un’operazione di somma e un’operazione di prodotto, che agiscono nel modo seguente:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∀(a, b), (c, d) ∈ C

(a, b) · (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c) ∀(a, b), (c, d) ∈ C

Da notare che (0, 0) è l’elemento neutro rispetto alla somma e che (1, 0) lo è rispetto al prodotto.

Inoltre (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).

L’insieme C, munito di queste due operazioni, è un campo.

Forma algebrica dei numeri complessi

Posto 1 = (1, 0) e i = (0, 1), ogni numero complesso (a, b) si può esprimere in forma algebrica così come segue: (a, b) = a + ib

def def

Il numero reale a si chiama parte reale, mentre il numero reale b si chiama parte immaginaria.

Il numero complesso i viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione

2

risulta i2 = −1.

Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri complessi espressi in forma algebrica:

(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)

2

(a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = ac − bd + i(ad + bc)

Complesso coniugato

Dato un numero complesso z = (a, b) = a + ib, il suo complesso coniugato è z̄ = (a, −b) = a − ib.

1

Sintesi

Definizione

L'insieme dei numeri complessi è definito come l'insieme di tutte le coppie di numeri reali, ossia

[math]\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}[/math]

Su

[math]\mathbb{C}[/math]
sono definite due operazioni interne, un'operazione di somma e un'operazione di prodotto, che agiscono nel modo seguente

[math](a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}[/math]

[math](a,b) \cdot (c,d) = (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) \quad \forall (a,b), (c,d) \in \mathbb{C}[/math]

Da notare che

[math](0,0)[/math]
è l'elemento neutro rispetto alla somma e che
[math](1,0)[/math]
lo è rispetto al prodotto. Inoltre
[math](0,1) \cdot (0,1) = (-1,0)[/math]
. L'insieme
[math]\mathbb{C}[/math]
, munito di queste due operazioni, è un campo.

Forma algebrica dei numeri complessi

Posto

[math]1 =_{def} (1,0)[/math]
e
[math]i =_{def} (0,1)[/math]
, ogni numero complesso
[math](a,b)[/math]
si può esprimere in forma algebrica così come segue

[math](a,b) =_{def} a + ib[/math]

Il numero reale

[math]a[/math]
si chiama parte reale, mentre il numero reale
[math]b[/math]
si chiama parte immaginaria. Il numero complesso
[math]i[/math]
viene detto unità immaginaria, e secondo la definizione risulta
[math]i^2 = -1[/math]
. Le operazioni di somma e prodotto si estendono naturalmente ai numeri complessi espressi in forma algebrica

[math](a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)[/math]

[math](a + ib) \cdot (c + id) = a c + i a d + i b c + i^2 b d = a c - bd + i (a d + b c)[/math]

Complesso coniugato

Dato un numero complesso

[math]z = (a,b) = a + ib[/math]
, il suo complesso coniugato è
[math]\bar{z} = (a, -b) = a - ib[/math]
.

Modulo e fase

Dato un numero complesso

[math]z = a + ib[/math]
, si definisce modulo di
[math]z[/math]
la quantità
[math]M = \sqrt{a^2 + b^2}[/math]
, si definisce invece fase, o argomento, di
[math]z[/math]
, la quantità

[math] h\eta = \begin{cases} \text{arctg}(\frac{b}{a}) & \quad \text{se } a > 0 \\ \text{arctg}(\frac{b}{a}) - \pi & \quad \text{se } a < 0 \text{ e } b < 0 \\ \text{arctg}(\frac{b}{a}) + \pi & \quad \text{se } a < 0 \text{ e } b > 0 \\ \frac{\pi}{2} & \quad \text{se } a = 0 \text{ e } b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \quad \text{se } a = 0 \text{ e } b < 0 \\ -\pi & \quad \text{se } a < 0 \text{ e } b = 0 \end{cases}[/math]

Rappresentazione in forma trigonometrica

Ogni numero complesso

[math]z = a + ib[/math]
può essere espresso in modulo e fase, così come segue

[math]z = M (\cos( h\eta) + i \sin( h\eta))[/math]

Si noti che in questa rappresentazione il complesso coniugato si scrive come

[math]\bar{z} = M (\cos( h\eta) - i \sin( h\eta))[/math]
.

Formula di Eulero

Tramite gli sviluppi in serie di Taylor di seno, coseno e esponenziale si dimostra la seguente formula di Eulero

[math]e^{i h\eta} = \cos( h\eta) + i \sin( h\eta) \quad \forall h\eta \in \mathbb{R}[/math]

Di conseguenza seno e coseno possono essere espressi con esponenziali complessi nel modo seguente

[math]\cos( h\eta) = \frac{e^{i h\eta} + e^{-i h\eta}}{2}[/math]

[math]\sin( h\eta) = \frac{e^{i h\eta} - e^{-i h\eta}}{2i}[/math]

Rappresentazione in forma esponenziale

Ogni numero complesso

[math]z = a + ib[/math]
, con modulo
[math]M[/math]
e fase
[math] h\eta[/math]
, può essere espresso in forma esponenziale nel modo seguente

[math]z = M e^{i h\eta}[/math]

Si noti che in questa forma il complesso coniugato si scrive come

[math]\bar{z} = M e^{-i h\eta}[/math]
.

Formule di De Moivre

Dati due numeri complessi,

[math]z_1 = M_1 (\cos( h\eta_1) + i \sin( h\eta_1))[/math]
e
[math]z_2 = M_2 (\cos( h\eta_2) + i \sin( h\eta_2))[/math]
, valgono le seguenti formule di De Moivre

[math]z_1 \cdot z_2 = M_1 M_2 (\cos( h\eta_1 + h\eta_2) + i \sin( h\eta_1 + h\eta_2))[/math]

[math]\frac{z_1}{z_2} = \frac{M_1}{M_2} (\cos( h\eta_1 - h\eta_2) + i \sin( h\eta_1 - h\eta_2))[/math]
con
[math]z_2 \ne 0[/math]

In particolare, indicando con

[math]|\cdot|[/math]
il modulo di un numero complesso e con
[math]\text{arg}(\cdot)[/math]
la fase, risulta

[math]|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|[/math]

[math]|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}[/math]

[math]\text{arg}(z_1 \cdot z_2) = \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2)[/math]

[math]\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2)[/math]

Dato

[math]z \in \mathbb{C}[/math]
, detto
[math]M[/math]
il suo modulo e
[math] h\eta[/math]
la sua fase, risulta

[math]z^n = M^n (\cos(n h\eta) + i \sin(n h\eta))[/math]

Radici
[math]n[/math]
-esime

Dato un numero complesso

[math]w[/math]
, si dice che
[math]z[/math]
è la radice
[math]n[/math]
-esima di
[math]w[/math]
se e solo se
[math]z^n = w[/math]
. Se
[math]w \ne 0[/math]
, allora esistono esattamente
[math]n[/math]
radici
[math]n[/math]
-esime di
[math]w[/math]
. Dette
[math]z_1, z_2, \ldots, z_n[/math]
tali radici, e posto
[math]w = M (\cos( h\eta) + i \sin( h\eta))[/math]
, risulta

[math]z_k = M_k (\cos( h\eta_k) + i \sin( h\eta_k))[/math]

con

[math]M_k = M^{\frac{1}{n}}[/math]

[math] h\eta_k = \frac{ h\eta + 2 k \pi}{n}[/math]

per ogni

[math]k = 0, 1, \ldots, n-1[/math]
.

D/illustrazione/soddisfatti o rimborsati
Acquista con carta o PayPal
Scarica i documenti tutte le volte che vuoi