Analisi matematica 1 - Numeri complessi

Numeri complessi pag 181

Possiamo definire i numeri complessi come dei vettori composti da una coppia di numeri ℝ.

Essendo appunto vettori non siamo più in una sola dimensione ma in 2D, ergo alcune operazioni possono cambiare:

• P+ : = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
• ℝ* : = (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc)

ℝ P Ya Ya rettore Somman- -Somma -(a b)· ,(cd)·. -=-tr ----- -X -XC C

Dato che con le operazioni sopra definite acquisisce le proprietà necessarie per formare un campo numerico ℝ chiamiamo questo campo: C.

Adesso le coppie di numeri sono formate da una parte reale e una parte immaginaria, ricordiamo che a e b sono sempre reali ib dove ib rappresenta il numero complesso a + ⑦ Er.

Ricordiamo che i = -1 pertanto i ma i ℝ E.

Funzioni dei numeri complessi

Definiamo alcune funzioni:

Re: Re: (a+ib) = x la funzione Re restituisce la parte reale del numero 01D.

Im: Im: (a+ib) = y la funzione Im restituisce la parte immaginaria del numero 2 -.

(| |: | |: |a+ib| = funzione del valore assoluto d -I questa funzione si chiama coniugio ibatib:.. -XX a -=.

Le sue proprietà sono molteplici: Tap) E/a ,.ab ba =+a .= =+ mal perché considerato & è alama sil=ae o acon = aau , ↳ 0=.

Funzione arg(z)

La funzione arg(z) indica la misura in radianti compresa 2π e 0, dell’angolo con l’asse delle x ↑↑.

Forma trigonometrica di un numero complesso Youmath pag 189 e 191

e/cs0 sin 8 ag(e)0: 17e+= ==** ↳ e(88) isto)e/cs4+Se+i- == =

Siamo passati dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, abbiamo cercato di creare i presupposti in modo tale da I poter conoscere il sin e il cos dell’angolo, sapendo che = cos 30 e 1/2 = sin 30 posso portare fuori il 2, che ⎷3 / 2 sarebbe e, rappresentativo del modulo del numero complesso.

I abbiamo infine convertito i valori in cos e sin in modo tale da poter svolgere operazioni come somma e moltiplicazione in modo più veloce.

Moltiplicazione tramite forma trigonometrica e formula di De Moivre pag 197

s8) r/cs4p/cos8+ :siny)px += =e omUAe)+(cos18 -8 isin18y)2 = p * MON. +++.pimestierone INDUIaNamiepu(cos +isorsin8) pros211 1+& := .+.= =↑ ercoster:I sin 0 sin&elne sinte +cosne +P c o s