Analisi matematica 1 - Numeri complessi

Numeri Complessi pag 181 -

Possiamo definire i numeri complessi come dei vettori composti da una coppia di numeri ℝ

Essendo appunto vettori non siamo più in una sola dimensione ma in 2D, ergo alcune operazioni possono cambiare:

P

+ : = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

ℝ

* : = (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc)

ℝ P Ya Ya rettore Somman

- -

SOMMA -(a b)

· ,

(cd)

·. -=

-

tr ----- -X -X

C C

Dato che con le operazioni sopra definite acquisisce le proprietà necessarie per formare un campo numerico

ℝ

chiamiamo questo campo: C

Adesso le coppie di numeri sono formate da una parte reale e una parte immaginaria, ricordiamo che a e b sono

sempre reali ib dove ib rappresenta il numero complesso

a +

⑦ Er

Ricordiamo che i = -1 pertanto i ma i

ℝ

E

Definiamo alcune funzioni:

Re: Re: (a+ib) = x la funzione Re restituisce la parte reale del numero

01

D

Im: Im: (a+ib) = y la funzione Im restituisce la parte immaginaria del numero

2 -(

| |: | |: |a+ib| = funzione del valore assoluto

d -I questa funzione si chiama coniugio

ib

atib

:

.. -XX a -

=

le sue proprietà sono molteplici: Tap) E

/a ,

.

a

b b

a =

+

a .

= =

+ mal perché

considerato & è

alama sil=

a

e o a

con = a

au , ↳ 0

=

Funzione arg(z)

la funzione arg(z) indica la misura in radianti compresa 2π e 0, dell’angolo con l’asse delle

x ↑

↑

Forma Trigonometrica di un numero complesso Youmath

pag 189 e 191

e/cs0 sin 8 ag(e)

0

: 17

e

+

= =

=

*

* ↳ e(88) isto)

e/cs4+

Se+i

- =

= =

siamo passati dalla forma algebrica alla forma trigonometrica, abbiamo cercato di creare i presupposti in modo tale da

I poter conoscere il sin e il cos dell’angolo, sapendo che = cos 30 e 1/2 = sin 30 posso portare fuori il 2, che

⎷3 / 2

sarebbe e, rappresentativo del modulo del numero complesso.

I abbiamo infine convertito i valori in cos e sin in modo tale da poter svolgere operazioni come somma e

moltiplicazione in modo più veloce

Moltiplicazione tramite forma trigonometrica e formula di De Moivre pag 197

:s8) r/cs4

p/cos8+ :siny)

p

x +

= =

e omUA

e)

+(cos18 -

8 isin18

y)

2 = p * MON

. +

+

+

.

pimestierone INDUIaN

amie

pu(cos +isor

sin8) pros

21

1 1

+

& :

= .

+

.

= =

↑ er

coster

:I sin 0 sin

&

el

ne sinte +

cos

ne +

P c o s