Estratto del documento

Geometria analitica

Generalità

Distanza fra 2 punti: P(x1, y1) e Q(x2, y2) - PQ = sqrt((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)

Punto medio di un segmento: estremi P(x1, y1) e Q(x2, y2) - xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2

La retta

Funzione canonica: y = mx + q

Passaggio di retta: P(x1, y1) - y - y1 = m(x - x1)

Coefficiente angolare di una retta: m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Distanza punto-retta: d = |ax1 + by1 + c|/sqrt(a2 + b2)

La parabola

Definizione: la parabola è il luogo dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice: PF = PH

Funzione canonica: y = ax2 + bx + c

Coordinate vertice: V = (-b/2a, -Delta/4a) - Delta = b2 - 4ac - Delta/4 = (b/2)2 - ac

La circonferenza

Definizione: la circonferenza è il luogo dei punti P del piano equidistanti da un punto C detto centro: PC = r

Funzione canonica: x2 + y2 + ax + by + c = 0

Coordinate raggio: r = sqrt((a/2)2 + (b/2)2 - c)

Coordinate centro: C = (-a/2, -b/2)

L'ellisse

Definizione: l'ellisse è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da 2 punti fissi F1, F2, detti fuochi: PF1 + PF2 = 2a

Funzione canonica: x2/a2 + y2/b2 = 1

a = semiasse maggiore

b = semiasse minore

c = semidistanza focale = sqrt(a2 - b2)

Coordinate vertici: A1(-a, 0), A2(a, 0); B1(0, -b); B2(0, b)

Coordinate fuochi: F1(-c, 0); F2(c, 0)

L'iperbole

Definizione: l'iperbole è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da 2 punti fissi F1, F2, detti fuochi: |PF1 - PF2| = 2a

Funzione canonica: x2/a2 - y2/b2 = 1

a = semiasse trasverso

b = semiasse non trasv.

c = semidistanza focale = sqrt(a2 + b2)

Coordinate vertici: A1(-a, 0); A2(a, 0)

Fuochi: F1(-c, 0), F2(c, 0). Equazioni asintoti: y = -b/a x, y = b/a x

Iperbole equilatera

Definizione: un'iperbole si dice equilatera se gli asintoti sono rette perpendicolari.

  • Riferita agli assi: x2 - y2 = a2 → asintoti: y = x, y = -x
  • Riferita agli asintoti: xy = k → asintoti: x = 0, y = 0
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Nozioni di geometria analitica di base Pag. 1
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Sintesi

Formule

Nell'allegato ci sono le formule di:

Distanza fra due punti e punto medio di un segmento

Retta

Funzione canonica, fascio di rette, coefficiente angolare di una retta, distanza punto-retta.

Parabola

Definizione, funzione canonica, coordinate vertice.

Circonferenza

Definizione, funzione canonica, coordinate raggio, coordinate centro.

Ellisse

Definizione, funzione canonica, coordinate vertici, coordinate fuochi.

Iperbole

Definizione, funzione canonica, coordinate vertici, coordinate fuochi, equazione asintoti (+funzioni e asintoti di iperboli riferite agli assi e riferite agli asintoti).

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