Motoarmonico cinematica relativa

Il moto armonico

Il punto P si muove di moto circolare uniforme con W = cost ω_o.

Se il moto armonico è la proiezione del moto P sull'asse x:

x(t) = A cos[θ(t)]

x(t) = A cos[ω_o t + ϑ_o]

-A x = 0 A

Oscilla tra x = ±A

A = ampiezza R>0

ω_o = pulsazione

θ_o = fase iniziale

θ(t) = ω_o t + ϑ_o = fase

f_o = ω_o / 2π con ω_o cost, frequenza s^-1 o Hertz

τ = 2π / ω_o = 1 / f_o, periodo per compiere un giro completo

Da x(t) = A cos[θ_o + ω_o t] possiamo ricavare v_x e a_x derivando

• x(t) = A cos[θ_o + ω_o t]
• v_x(t) = -A ω_o sin[θ_o + ω_o t]
• a_x(t) = -A ω_o² cos[θ_o + ω_o t] = -ω_o² x(t)

Rappresentazioni grafiche

Rappresentazioni grafiche x(t) v_x(t) a_x(t)

• Posizione x(t) = A cos[θ_o + ω_o t]
• Il corpo segue un cos che oscilla tra -A e +A
• θ_o + ω_o t = 0, π, 2π → x = A
• θ_o + ω_o t = π/2, 3π/2 → X = 0

Il moto armonico

Il punto P si muove di moto circolare uniforme ω = cost θ = 0. Se moto armonico è la proiezione di P sull'asse x.

x(t) = A cos[ϑ(t)]

x(t) = A cos[ω_ot + ϑ_o]

-A x = 0 A

Oscilla tra x = ±A

A = ampiezza ≅ R circonferenza

ω_o = pulsazione

ϑ_o = fase iniziale

ϑ(t) = ω_ot + ϑ_o = fase

f_o = ω_o / 2π con ω_o cost, frequenza s^-1 o Hertz

τ = 2π / ω_o = 1 / f_o, periodo per compiere un giro completo

Da x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot] possiamo ricavare v_x e a_x derivando

• x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot]
• v_x(t) = -A ω_o sin[ϑ_o + ω_ot]
• a_x(t) = -A ω_o² cos[ϑ_o + ω_ot] = -ω_o² x(t)

Rappresentazioni grafiche

Rappresentazioni grafiche x(t) v_x(t) a_x(t)

• Posizione x(t) = A cos[ϑ_o + ω_ot]
• Il corpo segue un cos che oscilla tra -A e +A
• ϑ_o + ω_ot = 0°, π, 2π ⇒ x = A
• ϑ_o + ω_ot = π/2, 3π/2 ⇒ x = 0

2. Velocità

v_x(t) = -Aω_o sin[θ_o + ω_ot]

Il corpo segue un seno negativo, oscilla tra ± Aω_o.

θ_o + ω_ot = 0, π, 2π v_x = 0

θ_o + ω_ot = π/2, 3π/2 |v_x| = Aω_o

3. Accelerazione

a_x(t) = -Aω_o² cos [θ_o + ω_ot]

Il corpo segue un cos negativo, oscilla tra ± Aω_o².

θ_o + ω_ot = 0, π, 2π |a_x| = Aω_o²

θ_o + ω_ot = π/2, 3π/2 a_x = 0

a⃗ = -ω_o² . x(t) a⃗ = d x / d t²

Uguagliando le due espressioni di a⃗ . a⃗ risulta:

d²x/dt² = -w_o² x(t) =>

d²x/dt² + w_o² x(t) = 0 equazione differenziale moto armonico la soluzione ha forma A cos (Ф_o + w_o t) con A e Ф_o parametri liberi

O la determinare che dipendono dalle condizioni 'in: m'ziali (c.a e c. di causly) misurate allo stesso istante nel caso particolonex e v._x iu fini = 0

{ x_o = x(0) = A cos (Ф_o)

v_o = v (0) = -A w_o sin (Ф_o)

Faccio rapporto tra v_x e x e luce:

v_x/x_o = sin (Ф_o)/cos (Ф_o) = -w_o tan (Ф_o)

Da cui: tan_o (Ф_o) = v_o/x_o w_o

Poi elevo al quadrato le due equazioni, moltiplico ambi membri sx sx per w_o, e sommo le due equazioni.

{ x_o² = A² cos² (Ф_o)

v_o² = A² w_o² sin² (Ф_o)

{ x_o² w_o² = A² w_o² cos