Modellistica per problemi differenziali

Name: Modellistica per problemi differenziali
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Author: Kijan

Revisionato il 08/09/2026

di Kijan

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Appunti di Modellistica per problemi differenziali basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Montoro, dell’università degli Studi della Calabria - …

Esame Modellistica per problemi differenziali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Montoro Luigi

Università Università della Calabria

A.A. 2019-2020

76 pagine

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Modellistica per problemi differenziali

Serie di funzioni e convergenza

Lezione 1

Consideriamo un intervallo I ⊂ ℝ e funzioni f_m: I ⟶ ℝ con m = 1, 2, 3, ..., ovvero, m ∈ ℕ.

Se x ∈ I consideriamo la successione {f_m(x)}_m∈ℕ.

f_m(x): [0, 2π] ⟶ ℝ, f_m(x) = sin(mx)

N = 1 ⟶ f₁(x) = sin(x)
N = 2 ⟶ f₂(x) = sin(2x)
... N = K ⟶ f_k(x) = sin(Kx)

Ricorda le diff. (Analisi I) {1/m} (Modelistica) {sin(mx)}

Successione numerica
Successione di funzioni

Definiamo serie di funzioni della successione {fm(x)}.

20. [Serie di Taylor]: ∑_m=0^+∞ x^m/m! = e^x ∀ x ∈ ℝ

In modo analogo al nostro compito, in una serie di funzioni, è convergere la x (quindi fisso un suo valore) e studio quindi la serie numerica ricavata con i soliti metodi visti ad Analisi I.

Definizione

Dico che la serie ∑_m=0^+∞ fm(x) = f(x) ovvero, converge a f(x) se e solo se lim_m→+∞ Sm(x) = f(x) con {Sm(x)}_m∈ℕ.

Definita da:

S₀(x) = f₀(x)
S₁(x) = f₀(x) + f₁(x)
S₂(x) = f₀(x) + f₁(x) + f₂(x)
… S_m(x) = ∑_k=0^m f_k(x)

20. Per capire meglio:

Dove converge ∑_m=0^+∞ fm(x)?

Converiamo la x
Utilizzo i metodi di Analisi I
Studio la nuova serie numerica

Ovvero, se x̅ è il punto convergente S_m(x̅) := ∑_k=0^m f_m(x̅), se lim_m→+∞ S_m(x̅) = f(x̅) (quindi, se esiste) allora questa scrittura avrà significato: ∑_m=0^+∞ f_m(x̅) = f(x̅).

Supponendo che ∀ x ∈ I ∃ finito lim_m→+∞ S_m(x̅) = f(x̅) [✱]

Allora concludo che la serie ∑_m=0^+∞ f_m(x̅) = f(x̅) ovvero, converge a f(x̅).

✱ → Sto ipotizzando di congetare M-volte (→ +∞) la x̅, es. x̅ o x̅, per tutti gli infiniti punti.

Problema tipico sulle serie di funzioni

Quali sono le proprietà che la somma f(x) "eredita" dai termini f_m(x)?

Per esempio se le f_m(x) sono funzioni continue, posso concludere (supponendo che la ∑_m=0^+∞ f_m(x) = f(x)) che la somma f(x) è continua?

Quindi le stesse domande si potrebbero estendere sulla derivabilità, integrabilità o altre proprietà.

Risposta generale: No.

In altre parole, dire che la serie di funzioni converge non è una condizione sufficiente a garantirci la verifica di tutte le proprietà prima esposte.

Consideriamo

\(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{\sin \left(3^{m}x\right)}{2^{m}}\) (*)

Si vede che (*) converge in ogni punto x ∈ ℝ, in quanto, considerando: \(\left|(*)\right|\) con x fissata ⇒ \(\left|\frac{\sin \left(3^{m}x\right)}{2^{m}}\right|\leq\frac{1}{2^{m}}\left(\frac{1}{2}\right)^{m}\forall x \in ℝ\)

Ha la serie \(\frac{1}{2}^{m}\) converge quando, la ragione e'

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